2次曲線問題の解き方 / 数学入試問題,大学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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数学入試の2次曲線問題問題の解き方(数Ⅲ)

2次曲線の一般形は次の通りですが、
2jiKyokusenn0.gif
これが表す曲線(直線も含む)は次のものしかありません。xy項があるということは、対称軸が回転されているということです。そしてそれらが表すx,yの範囲はそれぞれの場合に応じて特有の範囲を示します。

  • 3種類の2次曲線
    • 楕円(x,yともに有限の範囲)
    • 放物線(x,yのいずれかが有限、他方が無限の半区間)
    • 双曲線(x,yともに一部が欠けた無限の半区間)
  • 2つの直線の積((ax+by+c)(dx+ey+f)=0に因数分解できる場合、x,yともに無限の範囲)

これらは下図を見ればすぐにわかる話であり、このことがわかっていれば次の問題の背景がわかっているので、迷わずに解くことができます。
2jiKyokusenn.gif

完全対策 複素数平面・2次曲線はこの分野の問題をわかりやすく解説しています。

[入試問題]
●[C]楕円上のx座標の最大値問題(2012年、東大文科)
2012TodaiL1Q.gif
この問題は数Ⅰか数Ⅱの範囲に属しますが、上のことをわかっていないと、解き初めに躊躇するでしょう。最大値を求めるということは、この2次曲線は楕円か放物線しかあり得ません。

上のパターンを区別には、大学数学の線型代数で「2次形式」と呼ばれる数学の範囲に属します。対角化行列を求めて、その固有値の符号でどのパターン化が区別できます。以降の詳細は、今後公開予定の「線型代数」の頁を参照してください。

次問は2次曲線らしく見えますが、1次式の積に関する問題です。
[B]1次式の積の問題(2017年昭和大/医Ⅰ)
2017年昭和大/医143Q.gif

●楕円関連問題
[B]楕円の接線方程式の問題(2014年自治医大)
2014自治医科114Q.gif
[C]円の接線が楕円を切る問題(2010年東京医科歯科大)
円の接線の公式を使い、楕円を切った弦の長さの最大値を求め、楕円の一部の面積を求める問題ですが、すべて簡単に計算できる名問です。
2010年東京医科歯科大3Q.gif
[C]楕円錘の体積の問題(2015年、順天堂大/医12)
2015順天堂大12Q.gif
[C]楕円の面積の問題(2017年、順天堂大/医)
2017順天堂大2Q.gif
[C]楕円の焦点との距離の問題(2017年日本医科大)
2017年日医大5Q.gif
[D]楕円の通過領域の面積の問題(2017年慶應大/医)
2017慶応大/医3Q.gif

●放物線関連問題
[C]放物線の準線と焦点の問題((2012年順天堂大/医)
放物線の平行移動の問題。
2012順天堂大13Q.gif
[B]放物線の準線の問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医118Q.gif

●双曲線関連問題
[B]双曲線の焦点と漸近線の問題(2013年、昭和大/医)
2013昭和大/医131Q.gif
[B]双曲線の準線と距離の比の問題(2013年、日大/医)
2013日大/医18Q.gif
[B]双曲線の回転の問題(2013年獨協医大)
2013年獨協医大4Q.gif
[B]双曲線と直線の距離の問題(2016年日本医科大)
2016年日医大13Q.gif
[B]双曲線の接線の交点の問題(2017年阪大理系1)
2017年阪大理系1Q.gif
[B]双曲線の準円の問題(2009年同志社大理系4)
2009年同志社大理系4Q.gif
[D]放物線の2つの接線・法線の交点の軌跡の問題(2014年慶応大/医)
2014年慶応大/医3Q.gif

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