三角関数問題の解き方 / 数学入試問題,大学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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三角関数の基本公式はたった3つ!

実は三角関数の基本になる公式は「たった3つ」しかありません。

  • 正弦定理・余弦定理
  • ピタゴラスの定理(三角関数の基本定理)
  • 三角関数の加法定理⇒積和・和積公式

そして、全部暗記するのではなく、「困ったらその場でつくれる(確認できる)」ことが必要です。暗記に埋没しては、数学のおもしろさはわかりません。おもしろくなくては試験にも受かりません。
三角関数の公式は次のような関係にあります。正弦定理は外接円が必要なので他の公式とは無関係です。ピタゴラスの定理は三角関数の定義と密接な関係にあります。そしてその他のすべての公式は加法定理から導かれます。
AllFormula.gif
加法定理から導く多くの定理の証明

三角関数の公式がわかれば解ける問題は非常に多い!

●基本問題
[A]三角関数の対称式の問題(2017年日大/医)
2017年日大/医22Q.gif
[B]三角関数の問題(2013年慶応大/医)
2013年慶応大/医11Q.gif

●三角関数を使う平面図形問題
[C]円内の三角形の面積を最大化する問題(2015年阪大文系)
2015阪大L3Q.gif
[C]三角形の内接円の半径の問題(2006年京大理系後期)
2006年京大理系後期4Q.gif

●主として数Ⅲを使う図形問題
[C]三角形の辺長の2乗和を調べる問題(2002年京大理系)
2002KyouoRikeiQ.gif
[C]sinαsinβsinγの最大値を求める問題(1999年京大理系後期)
1999KyodaiRikeiKoukiQ.gif

●tanを使う問題和公式・加法定理)
[A]tanθ/2を利用する問題(2013年昭和大/医)
2013昭和大/医112Q.gif
[B]tanの性質を証明する問題(2014年埼玉大/教育他)
2014年埼玉大岩手大教育Q.gif
[B]tan10°= tan20°tan30°tan40°の証明の問題(2013年千葉大)
2013千葉大10Q.gif
[B]tan加法定理を利用する問題(2010年京大)
2010京大S2Q.gif
[B]tan加法定理を利用する問題(2015年東大文科)
2015TodaiL3Q.gif
[C]tan加法定理を利用する問題(2017年日大/医)
2017年日大/医3Q.gif
[B]tanと相加平均≧相乗平均を利用する問題(2015年京大理系)
2015年京大理系2Q.gif
[C]tan加法定理とシュワルツの不等式を使う問題(2013年東京医科歯科大)
2013TokyoIkaSHIkaQ.gif

三角関数を使った空間図形の問題

[C]円に内接する正三角柱の最大体積の問題(2014年大阪市大)
2014OsakaSidaiQ.gif
[C]四角柱を斜めに切る平面の面積の問題(2014年東大)
2014TodaiS1Q.gif
[C]直方体の中の四面体の問題(2014年東京医科歯科大)
2014年東京医科歯科大2Q.gif
[C]大円経路の計算問題(2008年京大理系)
2008年京大理系6Q.gif

三角関数の値域の問題

●三角関数の値域の問題
[B]三角関数多項式の最小値の問題(2017年東大理科1)
2017東大理科1Q.gif
[C]角度不明で解く三角関数の最大値の問題(2010年東大文科1)
2010東大L1Q.gif
[C]絶対値記号つき三角関数の値域の問題(2012年東北大文系)
2012年東北大文系2Q.gif

三角関数の方程式・不等式問題

●三角関数の方程式の問題
[A]三角関数の方程式の問題(2014年昭和大/医12)
2014昭和大/医112Q.gif
[B]少し難しい三角関数方程式の問題(2015年慶應大/環境情報)
2015慶應・環境22Q.gif
[B]三角関数を解とする方程式の問題(2014年日本医科大)
2014年日医大13Q.gif
[B]角度不明で解く三角関数の最大値の問題(2015年慶応大/医13)
2015慶応大/医13Q.gif
[C]角度不明で解く三角関数の最大値の問題(2010年東大文科1)
2010東大L1Q.gif
[C]半端な角度の三角関数を使う3次方程式の問題(2016年横浜市大/医)
2016年横浜市大/医4Q.gif
[B]3次方程式を利用する問題(2008年慈恵医大)
2008年慈恵医大2Q.gif
[D]3次方程式の難問(2017年早稲田大/理工)
2017年早稲田大/理工5Q.gif

●三角関数の方程式・不等式の解の問題
[B]三角不等式の問題(2002年東大/文理共通)
2002TodaiS1L1Q.gif
[C]単位円上の回転移動の問題(2014年一橋大)
2014一橋大3Q.gif
[C]三角関数方程式の解の数の問題(2008年京大文系)
2008年京大文系4Q.gif
[C]三角方程式の問題(2014年京大文系)
2014年京大文系1Q.gif
[E]三角関数方程式の解の数の問題(2012年京大文系)
2012KyodaiL5Q.gif

●三角関数の数列
[B]三角関数数列の問題(2008年九州大)
[B]三角関数で解く漸化式の問題(2016年一橋大)
2016年一橋大2Q.gif
[D]三角関数の級数の問題(2017年横浜市大/医)
2017年横浜市大/医2Q.gif

半端な角度の三角関数をあつかう問題

[B]sin18°に関する問題(2006年岡山県立大)
2006年岡山県立大Q.gif
[B]sin18°を求める問題(2005年熊本大文系)
2005年熊本大文系1Q.gif
[C]sin18°の値を二等辺三角形から求める問題(2012年横浜市大/医)
2012年横浜市立大/医15Q.gif
[C]sin18°の値を求める二等辺三角形の問題からの抽出問題(2010年京都文系4)
2010京大L4Q.gif
[C]sin15°が満たす4次方程式の解の問題(2007年岩手大)
2007岩手大/教育21Q.gif
[B]cos2π/5に関する五角形問題(2013年順天堂大/医)
2013順天堂大15Q.gif
[C]半端な角度の三角関数の問題(2016年慶應大/総合政策)
2016慶應・政策3Q.gif

●チェビシェフの多項式(三角多項式)
慶応大や医学部などで頻出の、漸化式で定義できる三角関数多項式の問題です。詳細は漸化式のチェビシェフの多項式で解説しました。なぜか2008年に集中しています。なにか大きな発見でもあったのかもしれないのですが、詳細はわかりません。しかし、知っておいて損はしない問題群です。

[入試問題群]
[B]チェビシェフの多項式の漸化式問題(2008年埼玉大)
2008SaitamaQ.gif
[C]チェビシェフの多項式の問題(2017年昭和大/医Ⅱ)
2017年昭和大/医22Q.gif
[C]チェビシェフの多項式の問題(2017年早大/商)
2017年早稲田大/商3Q.gif
[D]チェビシェフの多項式の漸化式問題(2008年慶応大)
2008年慶応大/医4Q.gif
[D]チェビシェフの多項式の計算問題(2007年横浜市大)
2007TokohamaSidaiQ.gif
[D]チェビシェフの多項式の問題(1996年京大後期)
1996年京大後期文理共通1Q.gif

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