平面幾何 [数A] / 数学入試問題,大学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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数学入試の幾何問題のツボ(数Ⅰ)

図形問題では、数Ⅱの方程式が使える問題の他に、純粋に幾何学的に解く問題も多く出題されています。幾何学的問題においては、次のいくつかの定理が多く使われます。最大の登場頻度を誇るのは「ピタゴラスの定理」(三平方の定理)でしょう。本稿では、初等幾何の問題と三平方の定理以外のいくつかの定理とその応用を紹介します。

●初等幾何の問題
[B]初等幾何の問題(2010年佐賀大文系)
2010年佐賀大文系Q.gif
[B]初等幾何の問題(2015年横浜市大/医)
2015年横浜市大/医2Q.gif
[B]初等幾何の問題(2012年京大文理共通)
2012KyodaiS5Q.gif
[B]等角証明の問題(2008年京大文系)
2008年京大文系2Q.gif
[C]長方形を折り曲げてあふれた面積の問題(2017年東工大)
2017年東工大3Q.gif
[C]初等幾何の問題(2009年京大理系)
2009年京大理系2Q.gif
●円の性質の問題
[B]接する円の問題(2017年慶應大/環境情報)
2017慶応環境1Q.gif
[B]接する円の問題(2017年慶應大/総合政策)
2017総合政策2Q.gif
[B]円に外接する三角形の面積の問題(2017年慈恵医大12)
2017年慈恵医大2Q.gif

●鏡像・円対称の問題
[B]鏡像の問題(2011年一橋大)
2011一橋大2Q.gif
[B]鏡像の問題(2013年昭和大/医)
2013日大/医13Q.gif
[B]円対称の問題(2010年横浜市大/医)
2010年横浜市大/医2Q.gif

●方べきの定理

方べきの定理を利用すると、2つの長さの積や商の長さを作図することができます。
[例題]方べきの定理を利用した作図
方べきの定理作図Q.gif
[入試問題]
[A]方べきの定理を利用する問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医116Q.gif


●メネラウスの定理とチェバの定理

これら3つの定理は、数Aで学ぶ幾何定理です。しかし筆者は中高大通じて一度も使ったことはなく、まったく見たこともない定理でした。数Bのベクトル方程式の問題ではメネラウスの定理も利用できます。しかし次の問題は、見事にこの定理を利用すれば簡単だが、利用しないと難問になる、という名問です。

[C]メネラウスの定理専用の問題(2009年横浜市大/医)
2009年横浜市大/医2Q.gif
[B]メネラウスの定理専用の問題2(2006年和歌山大)
2006和歌山大Q.gif
[B]メネラウスの定理の応用問題(2017年日本医科大)
2017年日医大4Q.gif

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