平面ベクトル (数B) / 数学入試問題,大学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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入試の平面ベクトル問題(数B)

ベクトルが有利なのは次の2点です。

  • 内積を通して角度があつかえる(角度問題に強い)。
  • 直線あるいは線分上の内分点・外分点があつかいやすい。

それぞれのメリットを実感するのに最適な入試問題があります。内積の方はベクトルの初歩のレベルに属しますが、内分点・外分点をあつかうベクトル方程式は若干むずかしいので、[解説]ベクトル方程式を用意しておきます。これは筆者が受験したころは難問あつかいで余り入試には出題されませんでしたが、最近は超頻出の問題です。

また、平面ベクトルは向きの異なる(一次独立な)2つのベクトルの一次結合、空間ベクトルは向きの異なる(一次独立な)3つのベクトルの一次結合で表現でき、逆にそれらのベクトル平面ベクトル・空間ベクトルが0ベクトルの場合は、それらを構成する一次独立なベクトルの係数がすべて0になります。これもよく使われるテクニックです。

[入試問題]
●シュミットの直交化法の問題
[B]シュミットの直交化法の問題(2017年昭和大/医Ⅰ)
2017年昭和大/医112Q.gif
[B]正規直交ベクトルの問題(2016年昭和大/医Ⅰ)
2016年昭和大/医121Q.gif

●ベクトルの内積で図形を定義する問題
ベクトルの内積で定義した図形の問題(2017年昭和大/医Ⅱ)[B]
2017年昭和大/医212Q.gif
空間ベクトルの問題がここにあります。

●平面ベクトルの問題
[B]直角三角形内の点の位置の問題(2013年東大理科4)
2013東大S4Q.gif
[B]三角形の面積比の問題(有名問題)
平面ベクトル・面積Q.gif
同様の空間ベクトルの問題もあります。
[C]ベクトル間の角度の問題(2008年東大文科)
角度のあつかいにベクトルを利用する、頻出パターンの問題です。
2008TodaiL3Q.gif
[B]3つのベクトルの和の大きさの問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医115Q.gif
[B]初等幾何の問題(2010年佐賀大文系)
ベクトルを利用して初等幾何の命題を証明する問題です。
2010年佐賀大文系Q.gif
[C]ベクトルの大きさの比の値域の問題(2016年一橋大)
2016年一橋大51Q.gif
[C]三角形の外接円の半径と角度を求める問題(2015年順天堂大/医)
2015順天堂大14Q.gif
[C]三角形の外接円に内接する四角形の面積を求める問題(2016年日大/医3)
2016日大/医3Q.gif
[D]ベクトルの大きさを評価する難問(2009年東大理科)
2009年東大理科6Q.gif

●ベクトル方程式問題
[A]ベクトル方程式の基礎問題(2008年佐賀大)
これがベクトル方程式のもっとも簡単な部類に属する問題です。
2008佐賀大Q.gif
[A]ベクトルの内分点の問題(2014昭和大/医113)
2014昭和大/医113Q.gif
[A]ベクトルの内分点の問題(2014日大/医)
2014日大/医17Q.gif
[C]ベクトルの内分点の応用問題(2017年東大文科2)
2017東大文科2Q.gif

[B]ベクトル方程式の交点を求める問題(2008年、東京理科大)
この問題は類題が、ざっと調べただけでも、東京電機大(2003年)、東京都立大(2004年)、早稲田大(2006年)、北海学園大(2007年)、関西大(2011年)などで出題されている超頻出問題です。この程度の問題ならばメネラウスの定理を利用しても解けます.。
2008TokyoRikaQ.gif
[B]ベクトル方程式で面積を求める問題(2013年慈恵医大)
2013年慈恵医大12Q.gif
[B]直線の方程式と内積の問題(2014年、京大文理共通)
ベクトル方程式とベクトルの内積の両方を利用する良問です。
2014KyodaiS1Q.gif
メネラウスの定理の方が解きやすい問題です。
[B]外心とベクトル方程式の問題(2012年慈恵医大)
2012年慈恵医大12Q.gif

[C]平面図形でベクトル方程式を複数回利用する問題(2013年京大理系)
2013KyodaiS1Q.gif
[C]ベクトル方程式を複数回利用する問題(2014年自治医大)
2014自治医科117Q.gif
[C]ベクトルの内分点と数列の融合問題(2014順天堂大/医)
2014順天堂大14Q.gif
[C]角の2等分線と内分点の問題(2014昭和大/医)
2014昭和大/医212Q.gif
[C]角の2等分線と内接多角形の問題(2013年獨協医大)
2013年獨協医大3Q.gif
[C]外心・垂心・内心のベクトル問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医22Q.gif
[D]内心とベクトル方程式の問題(2014年順天堂大/医)
2014順天堂大3Q.gif

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