行列と1次変換（旧課程数C）
本稿では行列問題の解説は止めようかと思っていたのですが、まだ来年まではセンター試験での対応が用意されており、2次試験でも「配慮する」という表現があって、多分選択問題が用意されます。前回の範囲変更では2年間の対応処置があったので、今回もその可能性に賭けて、補完問題の選出もひと段落したので、浪人生諸君のために解説を開始します。
●行列問題
高校数学の行列問題では、次の定理が最重要です。
●ケーリー・ハミルトンの定理（ハミルトン・ケーリーの定理）
行列問題で最多出題は2×2行列のn乗に関する問題ですが、その大半はこのケーリー・ハミルトンの定理で説明できます。まずは２乗して零行列になる行列の条件です。
●行列のn乗の計算方法
これには次のようにいくつかの方法があります。入試問題には大なり小なりこの計算が登場し、場合によっては組み合わせて用いられます。
(1) 何乗かすると単位行列になる行列を利用する。
［B］行列のn乗を計算する問題（2012年横浜市大／医14）
(2) ケーリー・ハミルトンの定理を利用する。
［C］行列の計算問題（2014年昭和大／医）
［B］行列の多項式の問題（2007年京大文系）
［C］５乗してEになる行列の行列式とトレースを求める問題（2013年東工大2）
(3) 漸化式を利用する。
［C］行列の積の極限の問題（2012年順天堂大／医14）
(4) 回転行列に帰着させる。
［B］行列のn乗の問題（2014年日大／医）
［C］n乗行列の部分和の問題（2014年横浜市大／医13）
［B］楕円の回転の問題（2006年旭川医大後期）
(5) 最初の数例を実際に計算してn乗を予想し，数学的帰納法を利用する。
(6) 行列の対角化を利用する。
(7) スペクトル分解を利用する。
［B］スペクトル分解による行列のn乗の問題（2014年日本医科大）
●行列の漸化式の問題
［例題］
［入試問題］
［D］行列漸化式を解く問題（2005年京大後期）
［B］行列漸化式を解く問題（2013年東大／理系）
［C］行列が定める漸化式の問題（2012年東京医科歯科大1）
［C］行列漸化式を解く問題（2014年北里大／医）
●行列と不等式の問題
［入試問題］
［C］行列成分の不等式の問題（2012年東大理系5）
［C］行列の対角成分の和の不等式の問題（2012年東大理系6）
●行列と整数の問題
［入試問題］
［B］行列と整数の融合問題（2007年東京医科歯科大）
●行列のその他の応用問題
［C］３次関数行列に対する上三角行列解の存在を示す問題（2013年慶応大／医3）
［C］行列の閉じた集合の個数の問題（2013年東京医科歯科大／医2）
●1次変換の問題
行列の応用問題では1次変換が最重要です。
［A］一次変換の問題（2013年順天堂大/医）
［A］一次変換の問題（2013年昭和大/医）
［B］一次変換の問題（2012年一橋大）
［C］直線を直線に移す一次変換の問題（2013年慈恵医大）
［C］一次変換と領域の問題（2008年東大理科）
［C］円を円に移す一次変換の問題（2013年横浜市大／医）
［C］確率で1次変換を選ぶ問題（2014年東工大）
