数と式の問題 | 京極一樹の数学塾

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数と式の問題(数Ⅰ・数Ⅱ)

本稿では応用問題を中心に構成していますが、その要素ごとの基礎的な内容にも重要な問題があるので、ここで整理しておきます。

●式の展開と因数分解
高校数学では式の展開と因数分解を逆の計算ととらえてほぼ同時に学び、方程式や因数定理は全く別個に学びますが、実は因数分解は方程式を解く基礎であり、この点をよく把握しないと、入試数学で思いもよらぬところでつまづきます。因数分解のキーポイントは次の3つです。

  • 対称式・交代式の因数分解
  • 3次式以上の因数分解
  • 置換のテクニックの利用

これらを順に解説します。

●対称式・交代式の因数分解
たとえばa,b,cの多項式f(a,b,c)でaとbを入れ替えて得られる数式 が元の多項式と変わらないとき、つまりf(a,b)=f(b,a) のときf(a,b,c)を対称式といいます。文字を入れ替えて符号が変わるとき、すなわち、f(a,b,c)=-f(b,a,c)を満たすとき、f(a,b,c)を交代式といいます。こんな名前を憶えても何にもならないのですが、これら対称式と交代式の中には、そのまま因数分解が出題されたり、問題の中で因数分解が必要になったりします。
主な例題を上げておきましょう。これらは難しそうに見えますが「展開し、次数が一番小さい文字で因数分解する」というのが基本方針であり、それさえできれば因数分解できる、というのが助かります。ただし3次式の場合には2つだけ必要な公式があります。一方は因数分解、他方はその助けになる公式です。

InnsuuBunkai2.gif

●置換の活用
これは例題で示します。慣れれば「置換したと思って計算できる」ようになります。その方が手っ取り早いのですが、間違うリスクと裏腹です。
[例題]
InnsuuBunkai4Q.gif
[入試問題]
[B]対称式の因数分解(2011年横浜市大/医)
2011年横浜市大/医Q.gif
[B]対称式の整理(2013年横浜市大/医)
2013年横浜市立大/医11Q.gif
[C]3元1次対称方程式の解を求める問題(2014年横浜市大/医)
2014年横浜市立大/医11Q.gif

●3次式以上の因数分解…因数定理の活用
3次式の1つの因数がわかっている場合の因数分解は考えずにできなければなりません。入試問題に出て来る3次式は因数分解できる場合が多く、次の3次式を因数分解するにはどうしたらよいかを考えます。利用するのは「f(a)=0を満たすaが存在すればf(x)はx-aを因数に持つ」という因数定理です。次の式は回転体積分の関数式です。

InnsuuBunkai.gif

[B]対称式の計算問題(2017年慶應大/総合政策)
2017総合政策1Q.gif
[B]対称式の計算問題(2016年慶應大/経済)
2016年慶應大経済1Q.gif
[B]対称式の計算問題(2017年昭和大/医Ⅰ)
2017年昭和大/医141Q.gif


●t+1/tの問題
[C]t+1/tの応用問題(2008年早稲田大/商)
2008早稲田商11Q.gif

●変数の数と実数の最大値
入試の数学によく登場するのは「変数と定数の認識」です。今どれが変数でどれが定数なのか、ということをよく認識していないと隘路にはまります。変数が2次式を満たす場合のその変数の範囲は、多くの場合「判別式」で得られます。
[入試問題]
[B]3つの対等な変数の1つの最大値の問題(2014年早稲田/人間科学)
2014年早大/人間科学2Q.gif
[C]2つの対等な変数の平方和の最小値の問題(2014年京大理系)
2014KyotoS5Q.gif

●多項式を決定する問題
[B]多項式を決定する問題(2017年一橋大)
2017年一橋大3Q.gif

●連分数の問題
[B]連分数の問題(2013年順天堂大/医)
2013順天堂大12Q.gif

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