図形と方程式問題の解き方 / 数学入試問題,大学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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数学入試の図形問題の解き方(数Ⅱ)

図形問題を解くには高校数学には大きく分けて1つの基礎、3つのテクニック(★)と1つの貴重な知識があり、問題によって使える方法が限られますが、どのテクニックを使うかが勝敗の分かれ目になります。

  • 三角関数(ツールその2、数Ⅱ、どんな場合もこれは使う)
  • ★図形の方程式(ツールその1、数Ⅱ)
  • ★ベクトル(ツールその3、数B、角度と内分点のあつかいに便利)
  • ★複素数平面(ツールその4、数Ⅲ、回転のあつかいに便利)
  • 2次曲線(数Ⅲ)

数Ⅲに含まれる2次曲線は、内容としてはそんなに難しいものではないので、文系受験生も理解しておく方が問題の背景がよく理解できます。

これらの問題はお互いに共通する部分が多いのですが、余りに問題が多くなったので、あつかいにくくなり、
○図形と方程式
○ベクトル
○複素数平面
線型・非線形計画法
に4分割しました。

図形と方程式の公式証明問題

三角関数と同様に図形問題においても、公式証明問題が出題されています。
●[B]直線との距離の公式(2013年大阪大文系)
2013OsakaBunkeiQ.gif
●円の接線の公式
[A]円の接線の公式(新作問題)
[例題]
特に上で述べた「点と直線の距離の公式」は使い慣れておく必要があるので、例題を示します。
[B]3つの直線の内接円の問題(2014年早稲田大/人間科学)
2014WasedaNingen3Q.gif

図形と方程式問題

●相加平均≧相乗平均の関係を使う図形問題(数Ⅱ)
[C]相加平均≧相乗平均を使う図形問題(2012年東大/文系)
2012TodaiBQ.gif
[C]相加平均≧相乗平均だけでは解けない図形問題(2008年東大/理系)
2008TodaiRikeiQ.gif

●放物線に関する問題(数Ⅱ)
[B]放物線と円の問題(2014年慶応大/理工)
2014慶應理工14Q.gif
[C]円に接する放物線が囲む面積の問題(2013年横浜市大/医)
2013年横浜市立大/医3Q.gif
[C]放物線と円の問題(2012年慶応大/医)
2012年慶応大/医3Q.gif
C]放物線の2つの接線の問題(2012年東大/文系)
2012TodaiL4Q.gif
[C]2つの放物線と接線の問題(2013年昭和大/医)
2013昭和大/医12Q.gif
[C]放物線間距離の問題(2016年東工大)
2016年東工大1Q.gif
D]放物線の2つの接線の問題(2014年慶応大/医)
2014年慶応大/医3Q.gif
[C]放物線の3つの接線がつくる三角形の垂心の問題(2017年東京理科大/理/応用数学)
2017年理科大応用数学12Q.gif
[B]2つの放物線の共通接線の問題(2017年東大理科)
2017東大理科5Q.gif
[B]放物線に内接する長方形の問題(2017年慶應大/環境情報)
2017慶応環境3Q.gif
[B]放物線上の正三角形の問題(2004年、東大文理共通)
2004TodaiS1L1Q.gif
4つの解法を示します。複素数平面での解法が一番とっつきやすい方法でしょう。

  • 「点と直線の距離の公式」を利用する
  • 法線の方程式を利用する
  • 3辺の傾きに三角関数を利用する
  • 複素数平面での回転を利用する

●鏡像に関する問題
[B]鏡像の問題(2016年慶応大/環境情報)
2016慶應・環境4Q.gif
[B]鏡像の問題(2011年一橋大)
2011一橋大2Q.gif
[B]鏡像の問題(2013年昭和大/医)
2013日大/医13Q.gif

円対称の問題
[B]円対称の問題(2010年横浜市大/医)
2010年横浜市大/医2Q.gif

●円に関する問題
[B]円と三角関数の問題(2017年東京理科大/理工/情報)
2016年理科大情報2Q.gif
[B]円の弦がつくる三角形の面積の最大値の問題(2014年自治医大)
2014自治医科111Q.gif
[B]円の接線がつくる弦の長さの問題(2014年自治医大)
2014自治医科113Q.gif
[B]3つの直線の内接円の問題(2014年横浜市大/医)
前問よりは若干計算が面倒な問題
2014年横浜市立大/医12Q.gif
[B]2つの円の共通接線を求める(新作問題)
SessennReidaiQ.gif
解いてみると結構計算が手ごわい問題です。いくつも解法がありますが、すべての方法に慣れておかないと、大変なことになります。こちらでは「円の接線の公式」も利用できます。

  • [解法1]「円の接線公式」と「点と直線の距離の公式」を利用する
  • [解法2]「点と直線の距離の公式」と直線の方程式を利用する
  • [解法3]直線の方程式と判別式=0を利用する

[C]円の内外接の問題(2009年、東大文系)
2009年東大文科1Q.gif
[B]円の内外心の問題(2011年日本医科大)
2011年日医大1Q.gif

軌跡と領域の問題

●軌跡の問題
[B]放物線上に底辺を持つ二等辺三角形の重心の軌跡の問題(2011年、東大理科4)
2011東大S4Q.gif
[B]2つの円の弦の交点の内分点の軌跡の問題(2015年慶應大/環境情報)
2015慶應・環境21Q.gif
[C]2つの球とそれらが接する平面に外接する球の接点の軌跡の問題(2016年東工大)
2016年東工大3Q.gif

●領域の問題
[B]絶対値記号付きグラフと2次関数に交わる直線の領域の問題(2015年京大文系)
2015年京大文系1Q.gif
[D]軌跡と領域の問題(2011年、東京医科歯科大)
内容はそんなに難しくないが、計算が恐ろしく大変な問題。
2011東京医科歯科2Q.gif
[D]放物線の弦の内分点の存在領域の問題(2007年東大理科)
2007年東大理科3Q.gif

●線分の通過領域の問題
[C]2つの直線の上に端点を持つ線分の動く範囲の問題(2014年、東大理科)
どうみても数Ⅲの問題とは思えずここに表示。問題としてはおもしろいがやさしい問題。
2014TodaiS6Q.gif
[C]2つの直線の上に端点を持つ線分の動く範囲の問題(2014年、東大文科)
理科よりは文科の問題の方がむずかしいかもしれません。。
2014TodaiS6Q.gif
[C]放物線に両端がある線分の通過領域の問題(2016年日本医科大)
2016年日医大3Q.gif
[C]長さが一定の線分の通過領域の問題(2015年順天堂大/医)
2015順天堂大13Q.gif


●曲線の通過領域の問題
[B]放物線の通過領域の問題(2014年昭和大/医)
2014昭和大/医22Q.gif
[D]双曲線の通過領域の問題(2011年日本医科大)
2011年日医大3Q.gif
[C]放物線の通過領域の問題(2010年、阪大文系2)
2010阪大文系1Q.gif
[C]放物線の通過領域の問題(2011年阪大文理共通)
2011阪大文系2Q.gif
[C]放物線の通過領域の問題(2015年東大理科)
2015TodaiS1Q.gif
[B]3点を通る放物線の存在領域の問題(2015年東大文科)
2015TodaiL2Q.gif

少し変わった図形問題

[B]2つの直線のなす角度を最大化する問題(2014年昭和大/医)
2014昭和大/医12Q.gif
[B]三角形の3頂点・3辺からの距離の平方和を最小にする問題(2016年慶應大/総合政策)
2016慶應・政策2Q.gif
[C]等積変形の問題(2010年、東大理系)
2010TodaiS4Q.gif
[C]半端な角度で三角形の面積を最大化する問題(2013年一橋大)
2013一橋大2Q.gif
[C]三角形の面積を最大化する問題(2015年一橋大)
2015年一橋大2Q.gif
[C]直角三角形の内部点から三辺までの距離の平方和を最小化する問題(2017年早大/商)
2017年早稲田大/商13Q.gif
[B]平行四辺形の面積を最大化する問題(2017年一橋大)
2017年一橋大4Q.gif

空間図形問題

図形問題では、空間図形の問題が数多く出題されています。平面とは若干異なる手法を利用する問題もあります。

[B]平面に下す垂線の問題(2013年慶応大/医)
2013年慶応大/医13Q.gif
[A]点から直線に下した垂線の足の問題(2013年昭和大/医211)
2013昭和大/医111Q.gif
[B]直方体の中の四面体の問題(1999年京大理系後期)
1999KyoutoRikeiKoukiQ.gif
[B]直方体の中の四面体の問題(2014年早稲田/教育)
2014WasedaKyoiku14Q.gif
[C]直方体の中の四面体の問題(2014年東京医科歯科大)
2014年東京医科歯科大2Q.gif
[C]空間図形と不等式の問題(2010年日本医科大)
2010年日医大2Q.gif
[C]正三角柱の中の直角三角形の問題(2000年、東工大)
2000ToKodaiS3Q.gif
[C]立方体と8面体の立体図形問題(2010年東京医科歯科大)
2010年東京医科歯科大2Q.gif
[A]四面体の表面積の問題(2011年一橋大)
2011一橋大4Q.gif
[B]四面体の切断面の問題(2006年青山学院/理工)
2006青学理工5Q.gif
[C]直交する円周間の距離の最小値・最大値の問題(2015年一橋大)
2015年一橋大4Q.gif

[B]円と2つの接線に接する円の問題(2014年日大/医)
2014日大/医2Q.gif
[B]円の弦がつくる三角形の面積の問題(2011年、東大理系)
2011TodaiS4Q.gif
4つの解法を示します。先に答えが見つかれば簡単に解けます。数Ⅱの範囲でも解けます。

  • 「点と直線の距離の公式」と数Ⅲ微積分を利用する
  • 垂線の長さを計算する
  • 中心角に三角関数を利用する
  • 2次関数だけで解く

[B]弦と弧が囲む領域を切る線分の長さの最大値の問題(2012年、東大理系)
2012年東大S1Q.gif
[E]複雑な回転体の体積の問題(2012年日本医科大)
後半は複雑な積分ですが、前半のベクトル部分は目新しい問題です。
2012年日医大3Q.gif

京極一樹数学塾.gif

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