大学入試に頻出の公式証明問題 | 京極一樹の数学塾

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大学入試に公式証明が頻出する理由

近年は、定理や公式を証明せよ、という問題がかなり増えています。これは暗記するばかりで中身を理解していないのではないかという一種の警鐘だと思います。出題する先生方の多くは、大学1・2年生に数学を教えている先生方だといわれています。「入れてみたら何にも知らない」という事件がよく起きているのではないかと想像します。従って問題は、教科書をしっかり勉強していれば必ず解けるレベルの問題なので、もし公式証明問題があったら「ラッキー!」と喜ばなければなりません。ほとんどが[A]ランクです。

問題の多くは、大問の冒頭でその問題の中で使用する比較的簡単な公式を一般的に証明させる問題であり、知っていても証明できなければ点を落とす、知っていればサービス問題となるものです。2006年から2010年まで連続して佐賀大文系で出題されました。

このような試験の出題傾向のみならず、公式の成り立ちや根拠を理解しておくと、公式を「度忘れ」した場合、あるいは記憶が不確かな場合には、もっと基礎的なところに戻って確認することができます。あやふやな記憶で間違いを犯すよりははるかに安全でしょう。「急がば回れ」です。

実は筆者は暗記が大の苦手で、2次方程式の解の公式もうろ覚えで、いつもその場で作っていました。ですから三角関数の公式はいつも、基本の公式に戻って確認していました。そして、暗記が苦手でも、東大現役合格は達成できました。

数学の基礎

●幾何の基礎
珠玉の名問あつかいするのはちょっと苦しいのですが、恐ろしく簡単な幾何の問題が2012年に出題されたので紹介しておきます。京大で幾何の基礎知識が問題視されたのでしょうか。
[A]幾何の基礎の問題(2012年文理一部共通)
2012KyodaiS5Q.gif
[B]三角形の中線の交点の内分比の証明(2010年佐賀大文系)
●数の基礎
[B]有理数・無理数の和・積・べきが有理数か無理数かという問題(2007年佐賀大文系)
[A]対数の理解の確認問題(2009年愛知教育大)
2009年愛知教育大1Q.gif

数列の問題

[A]等差数列と等比数列の公式の証明問題(2009佐賀大)
2009佐賀Q.gif
[B]等差数列の証明・計算問題(2006年佐賀大)
2006SagaQ.gif
[B]自然数列nのk乗和(k=1,2,3)の公式(2010年九州大文系)

三角関数の問題

●円周率とは何か
あくまで想像ですが、先生方と学生の会話で、「円周率とは何か」という話題が持ち上がって、「円周率って3.14?」とかいう「とぼけた」答えが学生から出たのではないでしょうか。本人はボケたつもりだったのかもしれなのですが、確かにそんな学生がいた時代もあったと思います。それに加えて一時小学校で、「円周率は3として計算してよい」という時期がありました。これらに対するアンチテーゼがこの問題である。

[C]「円周率が3.04より大きいことを証明せよ」(2003年東大理系)
2003TodaiQ.gif
この短い問題に、受験生が唖然としたことだろう。短さにも、中身にも。すると今度は京大で「tan1°は無理数か」という、文章が完結もしていないような短い問題が出題された。これは何らかの対抗意識が働いたのだろうか。確かに「短いほど良い」という風潮が理学部にはあると思う。

●三角関数の公式を証明する問題
三角関数の加法定理は、なかなか覚えにくいのですが、三角関数の根底をなす定理です。なんと1999年の東大入試には、この定理を証明させる問題が出題されました。この問題の正答率は非常に低かったそうです。

[A]三角関数の加法定理の証明(1999年東大理系)
1999TodaiQ.gif

その他2008年には、3倍角公式、和積公式や正弦定理に関する問題も出題されています。積和公式は新学習指導要領で新登場なので、今後出題されるかもしれません。新作問題として挙げておきます。証明は和積公式の逆算にすぎません。
[A]3倍角の公式の証明(2005年熊本大文系)
2005KumamotoL1Q.gif
[A]和積公式の証明(2008年埼玉大/教育・経済)
2008SaitamaQ.gif
[A]積和公式の証明(新作問題)
MSumFormuraQ.gif
[A]三角関数の合成公式の証明(2011年佐賀大理系)
2011年佐賀大1(1)Q.gif
[A]正弦定理の証明(2008年佐賀大文系)
2008SagaQ.gif
このままでは片手落ちなので、余弦定理の問題も作って紹介しておきます。
[A]三角関数の余弦定理の証明(新作問題)
YogenTeiriNewQ.gif

図形と方程式・ベクトルの分野

この分野では次の公式の証明が多分もっとも難しいでしょう。またその次の三角形の面積の公式の証明の1つの手段としても利用されます。なお最後に、円の接線の公式と、新学習指導要領で公式に認められたヘロンの公式の証明問題も示しておきます。ヘロンの公式は、新学習指導要領にしたがう最初の入試である2016年入試では必ずどこかの大学で出題されると思われます。これらの証明は非常に簡単です。図形と方程式の範囲で、公式証明問題として考えられるのはこれらくらいでしょう。

[A]直線との距離の公式(2013年大阪大文系)
2013OsakaBunkeiQ.gif
[B]三角形の面積の公式(新作問題)
三角形の面積公式Q.gif
[B]ヘロンの公式(新作問題)
ヘロンの公式Q.gif
[B]円の接線の公式(新作問題)
EnnnoSessennQ.gif

●微積分の公式を証明する問題

●微分の公式
[B]sinx/xの極限の問題(2013年大阪大理系)
2013OsakaRikeiQ.gif
[B]cosxの微分係数を求める問題(2004年富山医薬大)
2004ToyamaIyakuadaiQ.gif
●微分の定義
[A]微分可能性の問題(2012年慈恵医大)
2012年慈恵医大14Q.gif
[B]微分可能性と積の導関数の問題(2007年順天堂大/医)
2007年順天堂大3Q.gif
[B]微分可能性の証明問題(2002年神戸大/理)
2002年神戸大Q.gif
[B]関数の連続性を使った証明問題(2008年横浜市大/医)
2008年横浜市大/医2Q.gif
●積分の公式
[C]積分の平均値の定理の問題(1999年京大理系後期)
1999KyotoKoukiQ.gif
[C]原始関数の定数差の証明問題(2014年大阪大挑戦枠)
2014年大阪大挑戦枠Q.gif
[B]極方程式で表された曲線の弧長問題(2008年熊本大理系)
2005KumamotoS4Q.gif

京極一樹数学塾.gif

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