数学再入門 | 京極一樹の数学塾

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『うまく・早く・きれいに問題を解く 数学再入門』

MathReEntry.jpg著者:    京極一樹
発行所:   実業之日本社
発行日:    2012/6/11
頁数:    208頁
本体価格:  ¥800(税抜)
発行部数:  12,000部(2012/6/11現在)

はじめに
本書では、「中学・高校で学ぶ数学」の枠を超えて、数、関数・方程式、数列、微積分、そして体積などの「おもしろい数学」「不思議な数学」を解説します。
さて、「算数と数学はどう違うか」を考えます。一番明確なのは、教科名として、
「小学校で習うものが算数、中学校以降で習うものが数学」
という定義です。英語で言うと、
「数学:mathematics、算数:elementary mathematics(初等数学)」
であり、明確な区切りはありません。いずれも米国では「math」(マス)と言われる嫌われ者です。もう1つの考え方は、
「具体的な話が算数、抽象的な話が数学」
です。「抽象的」には、「うまく」「早く」「きれいに」解くための、負の数・複素数や、指数・対数・三角関数などの「すこしばかりの工夫とテクニック」に対する、わずかばかりの批評的な見方が含まれているかもしれません。数学は、この「うまく」「早く」「きれいに」が実感できなければつまらないだけです。そしてその真骨頂が方程式、複素数、数列、微積分です。本書では、ここの「おもしろさ」を感じて頂くことを目指します。
たとえば高校で数列を学んだ際「問題を解く」のに忙しくて、数列の不思議さに興味を持つ暇はなかったのではありませんか? 円の面積や球の体積を求める際、積分を使う場合と使わない場合で、その考え方の違いを楽しんだ記憶はありますか? 本書ではそんな数学を語ります。
また、2012年度から高校数学に「二重根号」が正式に登場するので、その解説も織り込みました。これは正五角形がからむ正多面体には必須の数学であり、今後入試問題にも頻出することでしょう。
数学が算数より「エライ」ということは決してありません。たとえば鶴亀算(算数)は2元1次方程式(数学)で解く方が、「うまく」「早く」「きれいに」解けますが、暗算で解くには「鶴亀算のまま」の方が簡単です。
本書が、読者の方々の数学のおもしろさのご理解の一助となることを祈願します。

2012年4月 著者


第1章 数から始まる数学の世界

1 ゼロは「数がないことを示す数」
2 地球外生命体は素数を認識できるのか?
3 「博士の愛した数式」に登場する数はどんな数?
4 フェルマーの定理とは何だ?
5 負の数や複素数は都合の産物
6 数学に登場するもっとも難しい数:無理数
7 とっても不思議な数字:円周率
8 もっと不思議な数字:ネピアの数
9常用対数を使うと何がわかる?
10 大きな数と小さな数を平等にあつかうには?
11 ピタゴラスの定理を利用すると平方根が登場する
12 美しい比率を数学で解き明かす
13 レポート用紙の縦横の比はどう決まる
14 古くて新しい話題は高校数学への二重根号の登場
■ 2012年度導入の新学習指導要領による中学数学の変化

第2章 三角関数と指数関数は複素数が介する兄弟関数

1 三角比・三角関数とピタゴラスの定理の密接な関係
2 ピタゴラスの定理はどうして成立するのか
3 正弦定理とヘロンの公式を垂線と円を使って証明する
4 複素数平面では複素数は回転と拡大・縮小を表す
5 ド・モアブルの定理からオイラーの公式へ
6 三角関数と指数関数は兄弟関数
■ 2012年度導入の新学習指導要領による高校数学

第3章 収束する無限数列はどんな数列か

1 1から10まで足したらいくつ?
2 等比数列の和や2乗和・3乗和を求める
3 アキレスは亀を追い越せるか
4 フィボナッチ数列の隣接項比は黄金比に収束する
5 複素数の対数と交代調和級数
■ 無限級数の収束と発散の証明

第4章 さまざまな関数と方程式の関係を知る

1 関数と方程式の関係は表裏一体
2 1次関数と1次方程式の世界
3 連立1次方程式・不等式の世界
4 2次関数と2次方程式と2次不等式
5 2次関数を求める・2次方程式を解く
6 2次関数・n次関数の微分はどう使う
7 3次関数の振る舞いを分析する
8 3次関数の標準形を求める
9 3次以上の方程式の一般解に挑む
10 2次関数・n次関数の積分はどう使う
11 積分のもっとも興味深い応用は体積と表面積の計算
12 微分のもっとも興味深い応用はマクローリン展開
■ 微積分の公式群

第5章 不思議の国の立体の数学

1 面積や体積はどう求めるか
2 円の面積はどうして半径の2乗のπ倍なのか
3 球の体積はどうして半径の3乗の4π/3倍なのか
4 円錐の体積はどうして円柱の1/3なのか
5 正多面体は何種類あるか
6 正多面体の中の正多面体
7 球にいちばん近い正多面体はどれか

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