東大・難関大数学 | 京極一樹の数学塾

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『ここに気づけばあなたも解ける! 東大・難関大「数学」入試問題』

著者:    京極一樹
発行所:   実業之日本社
発行日:    2015/1/31
頁数:    208頁
本体価格:  ¥800(税抜)

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はじめに

●社会人の方々へ
高校・大学を卒業して何年かたって、もう一度昔の数学を振り返ってみると、どのように感じられるでしょうか。最近は、高校数学をもう一度やり直す方々が増えています。「高校時代は数学が嫌いだったけれど、もう一度やり直したい」「今やってみたら、昔ほど嫌ではない」「子供に解き方を聞かれて、やってみたら昔よりよくわかる」…。
そうなんです。数学は、離れたら忘れるのは仕方がありませんが、何年かたって戻ってみると、高校のころよりは持続力、記憶力、忍耐力があって、意外と解けてしまうものなのです。なんと、東大の数学入試問題さえも。

●受験生の方々へ
一世を風靡し、今も人気の高い『ドラゴン桜』、このマンガを見て筆者は嬉しくなりました。筆者も、「東大の数学は難しくない」といい続けてきたからです。ドラゴン桜』では、東大の数学の特徴を次のように述べています。
○具体的な思考から始める !
○長文問題にはヒントがいっぱい !
○全問解こうとするな !
他にもこんな特徴があります。
○基礎力重視(計算力は必須)
○パラメータの利用や変数変換が多い
○2/3解けたら受かる(2/3は解ける問題が出る)
つまり、基礎力があって、取り組む問題を間違わなければ受かってしまいます。本書はこの2/3の問題だけを集めたものです。問題は4種類に分類しました。
中学生でも解けそうな問題: [AA]
教科書レベルの問題: [A]
教科書問題と普通の入試問題の中間の問題: [B]
普通の入試問題レベルの問題: [C]
とっつきにくい問題があったらまず、「具体的な思考から始める」「やれることをやってから考える」ことです。まず問題から何がわかるかを抜き出して試し、「イメージをつくる」ことが重要です。「2桁の整数」とあったらまず「1桁の整数」で試します。「円周の長さの下限」を求めるなら「内接多角形の周の長さ」を求めます。その上で、「ここに気がつくと…」というアドバイスも用意しました。

高校生用の解説書では、紙面の制限もあり、途中が省略されています。解答だけしか書かれていません。だから疲れます。本書では、途中は省略しません。計算は「目で追えるくらい」まで詳しく書きました。思いつくだけ、別解も書きました。
本書では、できるだけ「問題文がやさしい」ものを中心に集めましたが、実は長文の問題の方が、ステップバイステップで問題の解き方が用意されていて、やさしいものが多いのです。
「あっほんとだ ! これなら自分でも解ける!」という驚きと喜びを分かち合ってください。
2014年11月
著者


[目次]

第1章 もっともやさしい問題群
1 東大数学入試問題史上もっとも簡単な問題 (2002年 文科・AA)
2 長文問題がやさしいというのは本当? (2007年 文科・A)
3 連結した4つの線分中継点が動く領域の面積を求める問題 (1982年 文科・AA)
4 円周率の近似値を求める史上3番目に短い問題 (2003年 理科・AA)
5 変数をどんどん切り替えて最小値を得る問題 (1995年 文理共通・B)
6 完全に教科書レベルの三角方程式の問題 (2002年 文理共通・A)
7 視点を切り替えると解ける!クイズのような図形問題 (1999年 京大/理系後期・AA) (2014年 早稲田大/教育・A)
8 視点を切り替えるとすぐに解ける連立方程式の問題 (1964年 文理共通・B) (2014年 横浜市大/医・B)

第2章 特別な道具はいらない整数問題
9 中学数学のテクニックを使おう!2桁整数は10a+bとおく (2007年 文科・A)
10 数学入試問題史上もっとも短い問題 (2006年 京大/理系後期・B)
11 不定方程式の整数解は不等式を利用して求める (2006年 文理一部共通・B)
12 不等式を利用して不定方程式の整数解を求める…その2 (頻出有名問題・A)
13 不等式を利用して不定方程式の整数解を求める…その3 (2011年 一橋大・C)
14 因数分解を利用すると解ける整数問題 (2009年 一橋大・C)
15 数学的帰納法を利用する簡単な整数の問題 (1997年 文科・B)
16 「連続する整数は互いに素」を使って解く問題…その1 (2005年 文理共通・B)
17 「連続する整数は互いに素」を使って解く問題…その2 (2013年 京大/文系・理系・B)
18 3で割った余りを考える問題…その1 (2001年 京大/文系・B)
19 3で割った余りを考える問題…その2 (2014年 京大/理系・C)

第3章 かなりやさしい数式問題
20 線形計画法という分野の問題 (2003年 文科・B)
21 2つの2次関数で囲まれる領域での最大値・最小値の問題 (2004年 文科・B)
22 xとyの2次方程式を満たすxの最大値を求める問題 (2012年 文科・A)
23 xとyの3次対称式の条件つき最大値を求める問題 (2012年 京大/理系・B)
24 2次方程式の解の虚実にかかわらず実部が正という問題 (1992年 文科・B)
25 2次方程式がある範囲に異なる2つの実数解を持つことを示す問題 (1996年 文理共通・C) (2013年 東北大/文系・A)
26 複2次方程式の解と係数の関係から解の範囲を得る問題 (2005年 文科・C)
27 三角関数の加法定理を証明する問題 (1999年 文理共通・A)
28 半端な角度の三角関数値を求める問題 (2004年 横浜市大/商・C)

第4章 かなりやさしい数式問題
29 2つの正三角形が内接する球の半径を求める問題 (2001年 文理共通・B)
30 円に内接する四辺形の辺の長さを2次方程式で求める問題 (2006年 文科・C)
31 放物線上の正三角形の辺の長さを求める問題 (2004年 文理共通・C)
32 角度がわからないままで最大値を求める三角関数の問題 (2010年 文科・B)
33 正四角柱を斜めに切る平行四辺形の面積の問題 (2014年 理科・B)
34 sin(π/10)の値を二等辺三角形から求める問題 (2012年 横浜市大/医・B)
35 正五角形からcos(2π/5)を求める問題 (2013年 順天堂大/医・B)
36 複数の線分の交点の内分比を求める問題 (2013年 京大/文理共通・B)
37 線分の交点の内分比と内積を使う四面体の体積の問題 (2010年 理科・C)

第5章 やさしい数列とその応用問題
38 等差数列・等比数列の基礎問題 (2009年 佐賀大/教育・A)
39 自然数の1乗和・2乗和・3乗和を求める問題 (2010年 九州大文系・A) (新作問題・B)
40 少し面倒な空間格子点を数える問題 (1998年 理科・C)
41 (1+1/n)nと sinθ/θ を含む数列の極限の図形問題 (2007年 理科・B)
42 回転行列を利用する図形問題 (2013年 理科・B)
43 3以上の奇数の2乗・3乗で割り切れる整数数列の問題 (2008年 文科・B)
44 割り算を商と余りの関係で解く数列の問題 (2014年 文理共通・B)
45 新記号を使った整数と数列の問題 (2011年 文科・C)

第6章 少しむずかしい確率の問題
46 確率の問題ではもっともやさしいといわれる問題 (2006年 文理一部共通・B)
47 硬貨を使ったブロック積みゲームの問題 (2007年 文理共通・C)
48 4色の玉をL・R2つの箱に分ける問題 (2009年 文理共通・C)
49 さいころの目を使った割り算の問題…その1 (2003年 文科・C)
50 さいころの目を使った割り算の問題…その2 (2003年 理科・C)
51 少しむずかしい漸化式を解く数直線上の位置の問題 (2001年 文理共通・C)

第7章 少しやさしい微積分の問題
52 微積分の分野ではもっともやさしい問題 (2008年 文科・A)
53 これもやさしい文系微積分の問題 (2014年 文科・B)
54 絶対値記号と3次関数を含む関数の最小値を求める問題 (2006年 文科・B)
55 対数分数関数の高次導関数の漸化式の問題 (2005年 理科・B)
56 2つの放物線の交点と原点がつくる三角形の面積の積分計算 (2005年 理科・C)
57 三角関数を含む2つの曲線の交点の数を求める問題 (2013年 理科・C)
58 複雑な三角関数の定積分の問題 (2001年 理科・C)
59 東大の回転体積分の問題の中でもっともやさしい問題 (2004年 理科・C)
60 東大の回転体積分の問題の中で2番目にやさしい問題 (2012年 理科・C)

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