入試数学 珠玉の名問 | 京極一樹の数学塾

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『入試数学 珠玉の名問』

著者:    京極一樹
発行所:   アーク出版
発行日:    2014/7/10
頁数:    272頁
本体価格:  ¥1700(税抜)

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はじめに

●入試問題がなぜ名問ぞろいなのか
入試問題は名問の宝庫です。各大学の教授陣が、心血を注いで練り上げる努力の結晶だからです。考えてみてください。自宅学習を含め、高校生が3年間数学の勉強に費やす時間は平均でも2000時間、理系の志望者なら3000時間近くに上る人も少なくないでしょうが、入試ではそれをわずか90~120分のテストで判定するのです。
時間が制限されているので、出題数も6題程度です。単元ごとにその単元を理解できているかジャッジできる偏りのない問題をつくらねばなりません。全員が満点でも、全員が零点でも、判定が不可能になります。
したがって大学入試で出題される問題は、各単元にまんべんなく目配りされ、それぞれの単元の内容を受験生が確実に理解しているかを客観的に測定できる、バランスの取れたよい問題ぞろい、ということができます。
ですから、各単元の内容を代表する良問をバランスよくピックアップし、これを集中的に勉強していけば、高校数学の全体を可能なかぎり短時間で復習できる「超特急の高校数学マスター書」ができあがるというわけです。

●わずか100余問で高校数学を完璧にマスターする
そうはいっても問題作成を行うのも人間ですから、出来不出来というものはあります。筆者は長い間、大学入試問題の傾向と解法を分析し、その結果を筆者自身のホームページ[京極一樹の数学塾](索引末尾にURL記載)に公開してきましたが、その経験からよい問題、すなわち名問とは次のような条件を満たしている問題だと思います。
○高校数学の理解の程度で成績の差が出る問題
○1問解いたら他の問題も解けるようになる問題
○複数の解法が考えられる問題
重箱の隅をつつく応用力だけを問う問題より、数学的思考の本質を持ち合わせているかを問う問題の方が、数学力を養ううえでより重要だと考えているからです。これに加え筆者の好みとして、「問題文の短さ」も重視します。
ただし問題文が長いと悪問というわけではなく、本書末尾には恐ろしく長い関数方程式の問題も紹介しました。問題文が長い場合には誘導が十分用意されている問題も多いのです。
それにもう1つ、キーポイントをつかんでいれば、すばらしく美しい答をすばらしく早く得られる問題も加えます。少しだけ知識があれば、あっと驚く美しい解答が可能になる場合があるのです。

最近は有名大学でも、「高校教科書にあった公式を証明せよ」という問題がかなり目立っています。これは、公式丸暗記の風潮へのアンチテーゼであり、大学に入った学生が基本的な公式の「哲学」を理解していないので困った先生方の反応でしょう。
本書では「公式の根源・考え方」を「公式の哲学」と呼びます。公式の背景にはかならず他の公式や図形的理解があります。公式の丸暗記よりは公式の哲学を理解する方が、数学的センスを身につけるうえでずっと重要です。
本書は厳選されたわずか100余問の解法をマスターすることにより、広範な高校数学のエッセンスを超特急で学び直そうという画期的な試みです。スラスラ読める方なら2週間、そうでない方でも1カ月もあれば、高校数学の全貌を再履修することが可能です。

●最新動向が反映されて数学の学び直しにも格好
本書の特長は3つあります。1つはいうまでもなく、高校数学の全貌を学び直す最短、最良の問題集である、ということです。大学生・社会人はもちろん、大学受験を目前に控えた受験生にとっては、最強のバイブルであるはずです。試験まで2カ月に迫った段階で、これを読み進めれば、最高の過去問対策になるはずです。また、夏休みなどに取り組めば、弱点がわかって今後の学習の指針になるはずです。
特長の2番目は、直近の10年の出題傾向を踏まえていることです。出題傾向は高校での履修範囲の変化を反映していますので、大学生や社会人の方にとっては高校における最新の履修内容をあらためて見直すことができるはずです。これは自分たちの時代には習わなかったな、という出題範囲が一目瞭然です。
3番目は、問題を作成しているのが大学の数学の教授陣だということです。他の自然科学同様に、数学にも学問としての新発見や精緻化、数年ごとに移り変わる流行などが時々刻々と生起しています。こうした学問としての数学のありように大学の教授陣は当然敏感です。本書は最新の問題のみで構成することによって、今この瞬間に数学という学問に何が求められているかが、くっきりと浮かび上がってくるのです。

●折に触れ学びなおしたい珠玉の数学名問集
ある調査によれば、理系の大学に進んだ大学生の多くが、大学での数学に挫折し、単位の取得に苦しんでいるといわれています。大学受験を公式の丸暗記や入試テクニックだけで乗り切ってきたつけが回ってきているのです。受験生のみならず、ワンランク上の数学に進むための基礎力養成テキストとして、短時間で効果が上がる内容となっているはずです。
また、公務員試験や資格試験などで数学知識を必要とする人は少なくありません。仕事上の必要性や学問としての数学に魅了され、数学を生涯勉強し続ける人も少なくありません。そうした人たちが、折に触れ学びなおし、数学の基礎力を維持し続けるための格好の書物としてご活用いただければ筆者としてこれに勝る喜びはありません。
2014年5月
筆者

●本書における解答と解説
本書では、要点だけしか書かれていない美しく完全な解答ではなく、あっちこっちに引っかかりながらたどり着く、泥臭い解答を主として紹介します。ということは、解いていって行き止まり、元に戻ってやり直し、という失敗例も示します。解法としては、考えられるだけの図を示し、別解も思いつくだけ書きました。
計算の途中は、邪魔にならない程度に省略しないで書きます。「こことここの間がわからない」ということがあまり起きないように、「電車の中でも解答を目で追えるように」ということを目指しています。調べられるだけ、類題出題大学名も付記します。
問題の難易度も、次の4段階に分けて表記します。
A: 教科書レベルのやさしい問題
B: やややさしい入試問題
C: 中程度の入試問題
D: やや難問の難関大学で出題される問題
他に筆者自身のホームページ[京極一樹の数学塾](索引末尾にURL記載)には「E」(超難問)もありますが、本書の目的にはそぐわないので、本書では取り上げません。また、理屈っぽい、手間のかかる問題も避け、わかりやすい名問に絞りました。

[目次]

第1章 意外と多い公式証明問題
○定理や公式にはかならずその背景となる哲学がある
1 三角関数の加法定理の証明 (1999年 東大/文理共通)
2 三角関数の合成公式の証明 (2011年 佐賀大/理系)
3 三角関数の正弦定理の証明 (2008年 佐賀大/文系)
4 点と直線の距離の公式の証明 (2013年 阪大/文系)
5 等差数列と等比数列の和の公式の証明 (2009年 佐賀大/文系)
6 自然数列のn乗和の公式の証明 (2010年 九大/文系)
7 三角関数の極限公式の証明 (2013年 阪大/理系)
8 積分の平均値の定理の証明 (1999年 京大/理系後期)
9 原始関数の定数差の存在証明 (2014年 阪大/挑戦枠)
10 三角形の中線の交点の内分比の証明 (2010年 佐賀大/文系)
11 有理数・無理数は閉じているか (2007年 佐賀大/文系)

第2章 方程式・不等式など数学の基礎問題
○方程式・不等式は総合問題の構成要素
12 複2次式の因数分解 (2011年 横浜市大/医)
13 2次方程式の解と係数の関係 (2013年 芝浦工大)
14 3次方程式の解から係数を決める問題 (2011年 上智大/経済)
15 3次方程式が負の解を持つ条件の問題 (2002年 阪大/理系)
16 2つの3次方程式の実数解の問題 (1991年 京大/文系)
17 x+1/ xの応用問題 (2008年 早稲田大/商)
18 4次の相反方程式の問題 (2008年 東海大/理工農)
19 3つの変数のうちの1つの最大値の問題 (2014年 早稲田大/人間科学)
20 対称式の値域を調べる問題 (2012年 京大/理系)
21 絶対値記号が表す領域を描く問題 (2013年 阪大/理系)
22 相加平均≧相乗平均で最小値を求める問題 (2001年 神戸薬科大)
23 相加平均≧相乗平均を利用する図形問題 (2012年 東大/文系)
24 シュワルツの不等式を使う問題 (2013年 東京医科歯科大)
25 チェビシェフの不等式が使える問題 (2010年 東京医科歯科大)
26 三角不等式が使えるベクトルの問題 (2012年 青山学院大/経済)
27 無理関数の和に三角不等式を使う問題 (2009年 信州大/後期・医)
28 実数の三角不等式の問題 (複数大学出題問題融合問題)
29 イェンゼンの不等式の問題 (2007年 青山学院大/経済)
30 sinαsinβsinγの最大値を求める問題 (1999年 京大/理系後期)
31 ベルヌーイの不等式で解くと簡単な問題 (2001年 東京女子医大)

第3章 高頻出!数列・漸化式の問題
○数列と漸化式は入試問題の最重要テーマ
32 階差数列・分数数列の総合問題 (2011年 立命館大)
33 分数数列の和と不等式の証明問題 (2002年 一橋大)
34 等差数列の和の最大値の問題 (2008年 岩手大/教育)
35 等差数列・等比数列の項を決める問題(2006年 小樽商大) 96
36 等差数列×等比数列などの和の問題 (複数大学出題問題)
37 格子点の数を数える問題 (2014年 早稲田大/商)
38 やさしい群数列の問題 (2005年 群馬大)
39 少しむずかしい群数列の問題 (2008年 北見工大)
40 2項間漸化式の問題…その1 (複数大学出題問題融合問題)
41 2項間漸化式の問題…その2 多項式型 (2008年 関西大/商)
42 2項間漸化式の問題…その3 公比型 (2010年 同志社大/理系)
43 2項間漸化式の問題…その4 逆数型 (2013年 福岡教育大)
44 2項間漸化式の問題…その5 分数型 (2008年 東北大)
45 3項間漸化式の問題 (2013年 関西大)
46 フィボナッチ数列の計算問題 (2012年 青山学院大/経済)
47 3項間漸化式の利用: 階段の昇り方 (2007年 京大/理系)
48 フィボナッチ数列の数学的帰納法による証明 (2001年 横浜国大)
50 連立漸化式の問題 (2002年 三重大)

第4章 三角関数・図形とベクトル・複素数の問題
○三角関数・図形・ベクトル・複素数の問題の特徴
51 tanの和・積の性質を証明する問題 (複数大学出題問題)
52 tan10°= tan20°tan30°tan40°の証明 (2013年 千葉大/数学)
53 sin18°の値を計算し利用する問題 (2006年 岡山県立大)
54 三角関数との複2次方程式の解の問題 (2007年 岩手大/教育)
55 チェビシェフの多項式の証明・計算問題 (2008年 慶応大/医)
56 半端な角度のcos値の和と積を求める問題 (2008年 慈恵医大)
57 角度比を与えた面積最大の三角形の問題 (2014年 京大/理系)
58 円に内接する四角形の辺の長さを求める問題 (2006年 東大/文系)
59 三角関数数列の問題 (2008年 九大)
61 球に内接する正三角柱の最大体積の問題 (2014年 大阪市大)
62 3直線に内接する円の問題 (2014年 早稲田大/人間科学)
63 放物線上の正三角形の辺の長さの問題 (2004年 東大/文理共通)
64 2次関数の弦の中点の値域の問題 (2008年 東大/理系)
65 合同三角形が構成する四面体の体積の問題 (2014年 早稲田大/教育)
66 角度一定の軌跡の問題 (2008年 東大/文系)
67 線分の交点の内分比を求める問題 (2013年 京大/文理共通)
68 正三角柱の中の直角三角形の問題 (2000年 東工大)
69 四角柱を斜めに切る平行四辺形の面積の問題 (2014年 東大/理系)
70 複素数の数列が円を描く問題 (2005年 北大/理系)

第5章 整数と確率の問題
○整数と確率の問題の特徴
71 不定方程式の整数解を求める問題 (複数大学出題問題)
72 整数の3乗差の整数問題 (2009年 一橋大)
73 不定不等式の整数解の数の問題 (2008年 一橋大)
74 x+y+z=xyzをみたす自然数の問題 (類題、2004年東京女子大)
75 1/x+1/y+1/z=1をみたす自然数の問題 (複数大学出題問題融合問題)
76 1/x、1/y、1/zを含む自然数の問題 (2011年 一橋大)
77 素数の2乗を自然数の3乗和で表す問題 (2004年 千葉大)
78 整数の各桁の数字をあつかう問題 (2007年 東大/文系)
79 3の剰余類を使って解く問題…その1 (2013年 阪大/理系)
80 3の剰余類を使って解く問題…その2 (2014年 京大/理系)
81 「隣り合う整数は互いに素」で解く計算問題 (2005年 東大/文理共通)
82 「隣り合う整数は互いに素」を使う証明問題 (2013年 京大/文系)
83 4次式の整数係数を求める問題 (2002年 京大/理系)
84 整数漸化式の問題 (2010年 一橋大)
85 二項係数に関する整数問題 (2006年 早稲田大/政経)
86 約数の個数を数える問題 (2006年 東京理科大)
87 完全数を証明する問題 (2000年 佐賀大)
88 ガウス記号の計算問題 (2014年 早稲田大/商)
89 階乗に含まれる素数の数を数える問題 (2008年 早稲田大/教育)
90 3つのさいころの目の確率と期待値の問題 (2014年 大阪市大)
91 同じものを含む順列の最短経路問題 (2010年 関西学院大/理工)
92 数列を使う確率の問題…その1 (2011年 京大/文理共通)
93 数列を使う確率の問題…その2 (2012年 京大/文系)
94 確率過程のやさしい問題 (2013年 大阪教育大)
95 漸化式をつくって解く確率過程の問題 (2014年 京大/理系)

第6章 関数・数列の極限値と微積分問題
○極限値と微積分の問題の特徴
96 関数の極限値を求める問題 (複数大学出題問題)
97 図形についての極限値の問題 (2011年 愛知教育大)
98 数列の極限値を求める問題 (頻出優秀問題)
99 三角関数・分数関数の交点数の問題 (2013年 東大/理系)
100 角度不明のままで最大値を求める問題 (2006年 京大/理系)
101 置換積分による定積分の問題 (2007年 京大/理系)
102 円と双曲線がはさむ領域の面積の問題 (2014年 京大/理系)
103 数列の無限和を積分で求める問題 (複数大学出題問題)
104 確率の極限値計算に区分求積法を利用する問題 (2010年 京大/理系)
105 ガウス記号に区分求積法を組み合わせた問題 (2000年 阪大/理系)
106 n×無限小区間積分の極限値の問題 (早稲田大出題有名問題)
107 立方体の対角軸まわりの回転体積分の問題 (2010年 京大/文理共通)
108 トーラスとその内蔵球の体積比の問題 (2014年 阪大/理系)
109 極座標を求めて弧長を計算する問題 (2005年 岡山大)
110 不等式を微分して証明する問題 (2009年 東大/理系)
111 数列の無限和をはさみこみの原理で計算する問題 (2011年 東京医科歯科大)
112 積分不等式で対数値を評価する問題 (2007年 東大/理系)
113 誘導が完備した関数方程式の問題 (2009年 慈恵医大)
114 円錐状容器の排水の微分方程式の問題 (2006年 京大/理系後期)

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