物理数学 | 京極一樹の数学塾

HOME > 書籍紹介 > 物理数学

『おもしろいほどよくわかる!図解入門 物理数学』

物理数学_カバー5_0213.gif著者:    京極一樹
発行所:   アーク出版
発行日:    2014/3月
頁数:    256頁
本体価格:  ¥2100(税抜)

アマゾンへのリンクです

はじめに
●高校数学をほんの少し拡張すれば物理現象が見えてくる!
物理現象を数学を利用して解析する、これが物理数学です。物理現象を解き明かす物理数学こそ、もっともおもしろい数学です。
物理数学は、高校数学をほんの少し拡張すれば物理現象が見えてきます。そのほんの少しの拡張とは「変数が複数になること」や「オイラーの公式で複素数の指数関数をあつかうこと」です。
高校数学では微分も積分もあつかう変数の数は1つですが、物理現象では複数の変数をあつかいます。そのために「偏微分」や「重積分」が登場します。また以前、高校数学(数ⅡB)に含まれていた複素数平面は、新学習指導要領で高校数学(数Ⅲ)に戻りましたが、複素数平面における指数関数は実数の「複素関数と三角関数の組み合わせ」で表現されることになります。これが大学数学で学ぶオイラーの公式です。
これらの他に、高校数学に出たり入ったりしている「行列と行列式」や、高校数学の「発展的内容」にしか記載されていない「線積分」「極座標での積分」、そして、「微分の使いこなし」や、三角関数を拡張した「双曲線関数」は必要です。また媒介変数表示曲線はかなり詳しく書きました。媒介変数と双曲線関数は、誘導付きで大学入試に出題される内容でもあり、本書の内容を理解しておくと、大学入試への取り組みがすこしだけ楽になるでしょう。
●「おもしろい物理数学」を目指した超特急コース!
本来なら物理数学は、2年間ほど大学数学を学んで専門課程に入ってから出会う数学なのですが、大学数学はかなり面倒な数学であり、面白みに欠ける数学かもしれません。本書は、大学数学のうちの「物理数学には必須ではない数学」はすべて省いて、「物理数学を理解する数学」だけを書きました。
本来なら大学数学、物理数学では「微分可能」などの条件を詳しく語るのですが、本書ではこのあたりは大幅に簡略化し、複素関数論も省いて、もっとも簡単な場合だけを解説します。詳細を語ると格段にむずかしく面倒になるからです。つまり本書では、「おもしろい物理数学」の「もっとも簡単な場合」だけをあつかいます。さらに本書では、可能な限りたくさんの図解を加えました。グラフの作成には正確さを期してExcelを利用しています。
第1章では、高校数学と物理数学の橋渡し、第2章では常微分方程式、第3章では偏微分方程式、第4章で変分法、第5章でベクトル解析、第6章ではフーリエ変換とラプラス変換を解説します。本書では複素関数論やヤコビアンはあつかいません。本書は「おもしろい物理数学」を目指した超特急コースです。
●計算を目で追って読める物理数学!
計算が若干多いのですが、目で追って読めるように、計算はできるだけ途中を省略せずに書きました。ところどころでは適用公式を示しておきました。しかし計算がうっとうしければ、飛ばして読んで頂いて構いません。
これで、他には例を見ないわかりやすくおもしろい物理数学の図解書ができたと思います。物理数学に挑戦したい多くの方々の一助となれば幸甚です。

2014年3月
著者

[目次]

第1章 物理数学の基礎

Sec.1 高校の数学と大学の数学はどう違う
[1] 大学数学とは何か
[2] 高校数学と大学数学の違い : 5つのポイント
[3]高校数学と大学数学の関数の違い : 3つのポイント
Sec.2 高校微積分と大学微積分はどう違う
[1] 微分とは何か
[2] 合成関数の微分の表記が変わる
[3] 逆関数の導関数は導関数の逆数
[4] 物理数学のための微積分の予備知識
Sec.3 座標上の微積分から曲線上の微積分へ
[1] 曲線の線素を求める
[2] 線積分を求める
Sec.4 オイラーの最大業績 : オイラーの公式
[1] オイラーの公式は虚数の指数関数の公式
[2] 複素数は役に立つのか/役に立たないのか
[3] 複素数には偏角が登場する
[4] 複素数の微積分
[5] オイラーの公式はどのようにして生まれたか
[6] オイラーの等式は数学の至宝か人間文化の愚かさの見本か
[7] オイラーの公式から三角関数の公式を得る
Sec.5 双曲線関数は指数関数の組み合わせ
[1] 双曲線関数とは何か
[2] 双曲線関数と三角関数は置換積分に便利
Sec.6 物理数学に頻繁に登場する微積分
[1] さまざまな微分の表記法
[2] 頻繁に登場する微積分の公式
[3] 導関数の計算と微分の計算
[4] さまざまな座標系
[5] 極座標における積分と積分公式
Sec.7 媒介変数で表される身の回りの曲線
[1] 媒介変数表示はy=f(x)の束縛からの解放
[2] サイクロイド曲線はもっとも速く降りられる滑り台の曲線
[3] クロソイド曲線とは何か
[4] 曲率からクロソイド曲線を求める
Sec.8 サイクロイド曲線群の面積や長さの計算
[1] サイクロイド曲線の仲間
[2] サイクロイド曲線の面積と長さ
[3] アステロイド曲線の面積と長さ
[4] カージオイド曲線の面積と長さ
Sec.9 2×2の行列と行列式の使い方
[1] 行列と行列式の意味と用途
[2] 行列をつくって2元連立1次方程式を解く
[3] 2元連立1次方程式の解き方を比べる

第2章 高校物理から始まる微分方程式

Sec.1 高校物理にもあった微分方程式
[1] 高校物理と微分方程式の代表例
[2] 自由落下運動と微分方程式(右辺が定数の場合)
[3] バネによる振動と微分方程式(右辺が変位に比例する場合)
[4] 動摩擦がある斜面上の落下運動と微分方程式
[5] 重力があるバネ振動と微分方程式
[6] 振り子の運動の微分方程式
[7] 放射性崩壊の微分方程式
[8] コンデンサーの充放電の微分方程式
Sec.2 重力列車のしくみはバネの振動と同じ
[1] 微分方程式がわかれば運動がわかる
[2] 重力列車とは何か
Sec.3 微分方程式はパターンで解く
[1] 求積法で解ける微分方程式
[2] いろいろある微分方程式
[3] 基本的なテクニックその1…変数分離法
[4] 基本的なテクニックその2…定数変化法
[5] 定数係数2階線型微分方程式の解法
[6] 定数係数2階微分方程式の非斉次方程式の解法
[7] 定数係数2階非斉次方程式の一般解の形
Sec.4 直流回路の線型微分方程式を解く
[1] 直流回路の微分方程式
[2] RC回路の微分方程式を解く
[3] RLC回路の微分方程式を解く
[4] RLC回路の微分方程式の解を見る
[5] LC回路の微分方程式の解
[6] RL回路の微分方程式の解
Sec.5 減衰振動・強制振動の微分方程式を解く
[1] 微分方程式は自然に共通
[2] バネの減衰振動
[3] 摩擦力>復元力の場合(b>ω、D>0)
[4] 摩擦力=復元力の場合(b=ω、D=0)
[5] 摩擦力<復元力の場合(b<ω、D<0)
[6] バネの強制振動と非斉次方程式
[7] 振動の振幅の変動(ω>bの場合)
Sec.6 雨粒の落下速度はどれくらいか
[1] 空気抵抗のある落下運動
[2] 速度に比例する空気抵抗を受ける落下運動
[3] 速度の2乗に比例する空気抵抗を受ける落下運動
[4] 雨粒の落下速度
Sec.7 人口増加や新製品売上の分析に使う曲線を求める
[1] マルサスのモデルとロジスティック方程式
[2] 上限がないマルサスのモデル
[3] 上限があるロジスティック方程式

第3章 偏微分方程式はどう使う

Sec.1 偏微分方程式とは何か
[1] 物理によく出てくる偏微分方程式
[2] 偏微分・全微分の意味するもの
[3] 偏微分と接線ベクトル・法線ベクトルの関係
Sec.2 波動方程式をつくる・解く
[1] 波動方程式が対象とするもの
[2] 波動方程式はどうやってつくる
[3] 波動方程式の一般解を求める(ダランベールの解)
[4] 波動方程式の一般解を求める(変数分離法)
[5] 一般解に両端の境界条件を適用する
[6] 一般解にt=0の初期条件を適用する
Sec.3 熱伝導方程式をつくる・解く
[1] さまざまな偏微分方程式
[2] 熱伝導方程式をつくる
[3] 熱伝導方程式の定常解を求める
[4] 熱伝導方程式の一般解を求める
[5] 一般解に両端の境界条件を適用する
[6] 一般解にt=0の初期条件を適用する
[7] 熱伝導方程式の応用
Sec.4 シュレーディンガー方程式を解く
[1] シュレーディンガー方程式とは何か
[2] 1次元の定常波のシュレーディンガー方程式を導く
[3] 1次元の定常波の境界条件を適用する
Sec.5 包絡線を求める
[1] 包絡線は曲線群に接する曲線
[2] 包絡線を求める方程式は?
[3] 放物線上の円群の包絡線を求める
[4] アステロイド曲線の方程式を求める

第4章 変分法はどう使う

Sec.1 欲しい関数形は変分法で求める
[1] 変分はある量の極値を与える関数形を求めるもの
[2] オイラーの方程式を求める
[3] ベルトラミの公式を求める
[4] パターンに応じた変分法の解法
Sec.2 変分法を適用して曲線を求める
[1] 2点間を最短距離で結ぶ曲線を求める
[2] 電線が垂れ下がる場合の曲線の形を求める
[3] カテナリー曲線の利用例
Sec.3 もっとも速く滑り降りる滑り台の形を求める
[1] 2点間を最短時間で結ぶ曲線の形を求める
[2] サイクロイド曲線を降下する時間を求める
[3] 地球サイズのサイクロイドトンネルを考える

第5章 ベクトル解析はどう使う

Sec.1 ベクトル解析からマクスウェルの方程式へ
[1] ベクトルと微積分の融合
[2]ベクトルの内積と外積
[3]ベクトルの grad、div と rot
[4]gradは勾配を表す
[5]divは発散を表す
[6]rotは回転を表す
[7]grad、divとrotの線型性の確認と相互の演算
Sec.2 ベクトル解析のための線積分、面積分と体積分
[1]線積分、面積分と体積分とは何か
[2]線積分とはどんなものか
[3] 面積分とはどんなものか
[4]体積分とはどんなものか
Sec.3 ガウスの発散定理とストークスの定理
[1]ガウスの発散定理とガウスの法則
[2]体積分と面積分を関係づけるガウスの発散定理
[3]面積分と線積分を関係づけるストークスの定理
Sec.4 マクスウェルの方程式を読み解く 204
[1]マクスウェルの方程式とは何か
[2]電磁波の方程式を導く

第6章 フーリエ変換やラプラス変換はどう使う

Sec.1  フーリエ級数からフーリエ積分まで
[1] 三角関数の級数ですべてが表せる
[2] 波動方程式の解とフーリエ級数
[3] 実数値関数のフーリエ展開
[4] 実数値関数の無限区間への拡張:フーリエ積分
[5] 複素数関数への拡張:フーリエ変換
Sec.2  フーリエ変換の使い方
[1] フーリエ変換の一般的な用途
[2] フーリエ変換のさまざまな定義
[3] フーリエ変換の一般的な性質
[4] 微積分のフーリエ変換
[5] フーリエ変換と畳み込み積分あるいは合成積
[6] デルタ関数とは何か
[7] 主な関数のフーリエ変換
Sec.3 フーリエ変換を目で見る
[1] パルスをフーリエ変換する
[2] パルス幅を変える
Sec.4 レーザー光のビーム拡散を求める
[1] ビームの拡散の度合いを積分で求める
[2] ビームの拡散の度合いをフーリエ変換を利用して求める
Sec.5 フーリエ変換で微分方程式を解く
[1] 交流電気回路とフーリエ変換
[2] 2階線型斉次微分方程式のフーリエ変換による解法
[3] 2階非線型微分方程式のフーリエ変換による解法
Sec.6 フーリエ変換より便利なラプラス変換
[1] ラプラス変換とはどういうものか
[2] ラプラス変換とフーリエ変換を数学的に比較する
[3] ラプラス変換とフーリエ変換を実用的に比較する
[4] ラプラス変換の一般的な性質
[5] 微積分のラプラス変換
[6] 主な関数のラプラス変換
[7] t・sin(at)のラプラス変換
[8] ラプラス変換と畳み込み積分あるいは合成積
Sec.7 ラプラス変換を利用して微分方程式を解く
[1] 単振動の常微分方程式を解く
[2] 減衰振動の常微分方程式をラプラス変換で解く
[3] 摩擦力>復元力の場合(b>ω、D>0)
[4] 摩擦力=復元力の場合(b=ω、D=0)
[5] 摩擦力<復元力の場合(b<ω、D<0)
[6] 減衰のない余弦波の強制振動をラプラス変換で解く
[7] ステップ関数による強制振動をラプラス変換で解く
索引 

京極一樹数学塾.gif

京極一樹の物理塾
京極一樹の化学塾
----------------------------
[入試問題解説]
●センター試験数学入試問題
センター試験数学
●医大・難関大の数学入試問題
東京大 数学入試問題過去問一覧
京都大 数学入試問題過去問一覧
大阪大 数学入試問題過去問一覧
一橋大 数学入試問題過去問一覧
東工大 数学入試問題過去問一覧
国公立医大 数学入試過去問一覧
私立医大 数学入試過去問一覧
難関私大 数学入試問題一覧
国公立大 数学入試問題一覧
----------------------------
[難関大・医大合格の教材2017年版]
最新刊:入試直前対策3点
----------------------------
東大理科
日大/医
横浜市大/医
東大・京大・一橋大の文系数学
----------------------------
完全対策 微積分応用問題
完全対策 微積分基礎問題
完全対策 複素数平面・2次曲線問題
完全対策 数列・漸化式の極意
完全対策 整数問題の極意
完全対策 空間図形問題の極意
直接注文・簡易製本のご案内
入試問題解説書の販売条件一覧

京極一樹が貴方のための
受験大学の入試問題の学びやすい分野別解説・傾向分析書
をおつくりします!
センター試験数学対策問題集
センター試験化学対策問題集
ほんとうの数学入試試験対策
-------------------------------------
[個人指導]
京極一樹が個人指導・家庭教師お引き受けします。
受験生・高校生・大学生はこちら
受験生の遠隔指導引き受けます!
中学生・中高一貫校生はこちら
-------------------------------------

●分野別の数学入試問題
大学入試 数学入試問題の良問集大成
(数Ⅰ・数Ⅱ・数Ⅲ)

(数Ⅲ)

(数A)

(数B・数Ⅲ)

行列と一次変換(旧数C)
難関大学突破のためのトピックス

---------------------------------
東大数学入試問題を突破する方法
初めて見る問題を解く方法
どうして勉強するのか
---------------------------------
「数学以外のコンテンツ」は削除しました。
入試数学トップへ戻る
京極一樹の数学塾トップページへ戻る