完全対策可能な入試問題:数列と級数の問題 | 京極一樹の数学塾

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数列と級数の問題の解き方

●等差数列と等比数列
数列と級数に関する基礎事項をまとめておきます。級数は数列の部分和であり、それ自体が数列です。無限和を無限級数といいます。
SEQ1.gif
SEQ2.gif

●等差数列の問題
[A]等差数列の応用問題(2008年大阪工大)
2008OsakaKoudaiQ.gif
[B]等差数列の最大値の問題(2008年岩手大)
2008年岩手大Q.gif
[B]等差数列の証明・計算問題(2006年佐賀大)
2006SagaQ.gif

●等差数列・等比数列の問題
[A]等差数列と等比数列の公式の証明問題(2009佐賀大)
2009佐賀Q.gif
[B]等比・等差数列の平均・重み付き平均の問題(2010年聖マリアンナ医大)
2010年聖マ医大3Q.gif
[A]等差数列と等比数列の公式の証明問題(2009佐賀大)
2009佐賀Q.gif
[B]等差数列・等比数列の複合問題(2014年自治医大)
2014自治医科116Q.gif
[B]等差数列・等比数列の複合問題(2006年小樽商大)
2006年小樽商大Q.gif
[B]円周の長さや円の面積の数列の問題(2007年東大文科)
2007年東大文科2Q.gif

●無限等比数列の問題
[B]無限等比数列の初項・公比の問題(2013年順天堂大/医)
2013順天堂大11Q.gif
[B]図形上の無限等比数列の問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医13Q.gif

●数列の和から一般項を求める問題
[B]数列の和から一般項を求める問題(2014年昭和大/医)
2014昭和大/医213Q.gif

●自然数のk乗和の問題
[B]自然数の和・2乗和・3乗和の公式証明問題(2010年九大文系)
2010九州Q.gif
[B]等差数列×等比数列の和の問題(1989年東北学院大)
1989TohokuGakuinnQ.ai
[B]自然数と4のべき乗の積和の問題(2017年早大/政経)
2017年早稲田大/政経11Q.gif
[B]自然数の2乗と2のべき乗の積和の問題(2015年横浜市大/医)
2015年横浜市大/医14Q.gif
[C]自然数列の2乗和・積和の問題(新作問題)
Same&DifQf.gif
[B]自然数列の証明・計算問題(2006年佐賀大)
2006SagaQ.gif

●数の和の問題
[B]限られた数字を並べてつくった数の和の問題(2011年京大文系5)
2011京大L5Q.gif
[B]自然数の割り算の余りの数列の問題(2016年日本医科大)
2016年日医大12Q.gif


●格子点を数える問題
[C]空間格子点の数を数える問題(2014年早稲田大/商)
2014年早稲田大/商Q.gif
[D]空間格子点の数を数える問題(1998年東大)
1998TodaiS2Q.gif
[C]平面格子点の数を数える問題(2015年慈恵医大)
2015年慈恵医大3Q.gif
[C]平面格子点の数を数える問題(2014年近畿大/医)
2014年近大/医3Q.gif

●分数列の和を求める
一般項がわかっていて、その数列の和を求める問題がよく出題されますが、慣れておかなければいけないのは分数の和です。分母が因数分解できる場合は部分分数に分解できて、その和は慣れていれば容易に計算できます。頻出する部分分数分解の公式は次の通りです。
BunnsuuBunnkai.gif

[入試問題]
[A]階差数列・分数数列の計算問題(2011年立命館大)
2011RitsumeiQ.gif
[B]分数数列の応用問題(2002年一橋大)
2002HitoQ.gif
[B]分数数列の応用問題(2017年日本医科大)
2017年日医大1Q.gif
[B]3項の分数数列の和の問題(2017年昭和大/医Ⅰ)
2017年昭和大/医142Q.gif

●三角関数列の和を求める
三角関数列も他の数列と同じですが、三角関数独特のルールが追加されます。
[入試問題]
[B]三角関数数列の応用問題(2011年津田塾大)
2011TsudjukuQ.gif
[B]自然数と三角関数の数列の問題(2015年一橋大)
2015年一橋大5Q.gif
[B]三角関数数列の問題(2008年九州大)
2008KyushuuQ.gif

●群数列の問題
群数列は、中高入試のみならず大学入試にもよく出題されます。この種の問題のキーポイントは「群ごとの項数の数列」に注目することです。「これは何番目の項か」とか「何番目の項は何か」という場合には群ごとの項数がわかれば解けます。ただし注意すべきは、問題によって、群の初項と末項のどちらに注目するか、という差異があります。
[例題]
[B]群数列のやさしい問題(2005年群馬大)
2005GunmadaiQ.gif
[入試問題]
[C]群数列の問題(2008年北見工大)
2008KitamiKoudaiQ.gif
[C]群数列の問題(2012年横浜市大/医)
2012年横浜市立大/医13Q.gif
[B]群数列の問題(2014年慶応大/商)
2014年慶応大/商12Q.gif
[B]群数列の問題(2014年関西大学/理工)
2014年関西大学/理工2Q.gif
[B]群数列の問題(2010年センター試験数学IIB3)
2010年センター試験数学IIB3Q.gif
{C}一見群数列に見えない群数列の問題(2015年昭和大/医)
2015年昭和大/医12Q.ai
[B]群数列の問題(2017年東京理科大/理工/情報)
2017年理科大情報15Q.gif
[B]群数列と等比数列の問題(2016年東京理科大/理工/情報)
2016年理科大情報11Q.gif

新記号問題
もっともポピュラーな新記号問題はガウス記号でしょう。これは[x]で「xを超えない最大の整数」を表します。これは、整数問題でも述べましたが、「ふつうの数との関連をどう表すか」が課題です。

[入試問題]
[C]ガウス記号で表された数列の問題(2011年関西学院大)
2011KangakuQ.ai
[C]ガウス記号の逆数の数列の問題(2016年慶應大/環境情報)
2016慶應・環境5Q.gif
[C]小数部分の数列の問題(2011年東大文科2)
2011東大SL2Q.gif

●数列の不等式証明問題
[B]数列が満たす不等式の問題(2013年大阪府立大学/理工)
2013年大阪府立大学/理工Q.gif
[B]数列が満たす相加平均≧相乗平均の問題(2012年神戸大文系)
2012年神戸大文系3Q.gif

[C]数列の難問(2015年慶應大/環境情報)
2015慶應・環境5Q.gif
[D]数列の難問(2017年東京医科歯科大)
2017東京医歯1Q.gif

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