完全対策可能な漸化式の解法パターン 数学入試問題 大学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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たかが10+4パターンの漸化式の解法

漸化式には、明らかな等差数列・等比数列と特殊な連立漸化式・数学的帰納法などのパターンを除くと、主要なパターンは次の10種にまとめられます。漸化式は国立大では単独ではなく確率などの融合問題として出題される場合が多く、その場合には「漸化式を作る」ところから始まります。したがってこの分野はかならず「得意分野」にしておかなければなりません。
パターンは随時改善しています。

完全対策 数列・漸化式はこの分野の問題をわかりやすく解説しています。

SeqAll2.ai
これらのパターンは、次の方法の組合せで解くことができます。

  • 等差数列や等比数列のパターンに帰着する
  • 等差数列の一種である階差数列に帰着する
  • 逆数の数列を求める
  • 数列を置き換えて解く
  • 2項間・3項間・分数数列の特性方程式を解く

上の10パターンの中には、出題頻度が低くむずかしいものもありますが、一度は全パターン解いておくべきです。試験場で初対面、という悲劇は避けましょう。それぞれのパターンを図解します。さらにその後に、
[11]数学的帰納法で解く漸化式
[12]部分和と一般項の混在型
[13]連立漸化式
[14]漸化式を自分で作って解く問題
の4つの番外パターンを紹介します。

Seq0.gif
等差数列や等比数列の解説
[例題]
Seq0Q.gif

[1]階差数列
Seq1.gif
[例題]
Seq1Q.gif
[入試問題群]
[A]階差数列の問題(2003年札幌学院大)
2003SapporoGakuinQ.gif

[2]2項間特性方程式型
Seq2.gif
[例題]
Seq2Q.gif
[入試問題群]
[A]2項間特性方程式型漸化式の問題(2011年慶応大)
2011KOQ.gif
[B]2項間特性方程式型漸化式の部分和の評価の問題(2014年自治医科大)
2014自治医科115Q.gif

[3]多項式型
Seq8.gif
[例題]
Seq3Q.gif
[入試問題群]
[B]多項式型漸化式の問題(2008年関西大)
2008年関西大/商Q.gif
[B]多項式型の問題(2014年大阪府立大)
2014年大阪府立大学Q.gif
[D]三項間多項式型漸化式の難問(2016年横浜市大/医)
2016年横浜市大/医13Q.gif

[4]指数型
Seq4.gif
[例題]
Seq4Q.gif
[入試問題群]
[B]指数型漸化式の問題(2007年信州大/工)
2007SinshuQ.gif

[5]対数型
Seq5.gif
[例題]
Seq5Q.gif
[入試問題群]
[B]対数型漸化式の問題(1998年埼玉大)
1998埼玉大Q.gif
[B]対数型漸化式の問題(2011年静岡大/理系)
2011ShizuokaQ.gif
[B]対数型漸化式の問題(2017年阪大文系)
2017年阪大文系3Q.gif

[6]公比型
Seq3.gif
[例題]
Seq8Q.gif
[入試問題群]
[A]公比型の問題(2007年北里大‣医)
2007KitazatoQ.gif

[7]割り算型
Seq9.gif
[例題]
Seq9Q.gif
[入試問題群]
[B]公比型漸化式の複合問題(2010年同志社大理系)
2010年同志社大Q.gif
[C]多項式割り算型4題(新作問題)
N-POLYQ.gif

[8]逆数型
Seq7.gif
[例題]
Seq7Q.gif
[入試問題群]
[A]逆数置き換え型の問題(2014年日大/医)
2014日大/医15Q.gif
[B]逆数置き換え型の問題(2004年福岡教育大)
2004HukuokaKyoikuQ.gif
[B]逆数置き換え型の問題(2013年福岡教育大)
2013HukuokaKyoikuQ.gif

[9]分数型
分数型漸化式.gif
分数数列は特に面倒ですが、一般的には誘導が用意されます。初めて見たときや誘導がないときは、多分避けてしまうでしょうが、慣れておけば、いざというときに安心して解くことができます。
分数漸化式の解法
[例題]
Seq10Q.gif
[入試問題群]
● 分子に定数項がない場合
[B]分数漸化式の問題(2010年大阪府立大)
2010OsakFurituQ.gif
● 分数数列の特性方程式が解ける場合
[C]分数漸化式の問題(2008年東北大)
2008年東北大後期4Q.gif
[C]分数漸化式と極限値の問題(2015年東工大)
2015東工大大1Q.gif

[10]3項間特性方程式型
Seq6.gif
3項間漸化式型の一般的な解法は3項間漸化式の解法で解説しました。
確率漸化式問題には、2項間・3項間の漸化式を自分で作って解く問題が多く、これらは確率漸化式で解説します。このパターンは難関校で頻出します。

[B]部分和の3項間漸化式の問題(2017年日大/医)
2017年日大/医24Q.gif
[D]三項間多項式型漸化式の難問(2016年横浜市大/医)
2016年横浜市大/医13Q.gif

[B]3項間分数漸化式の問題(2017年昭和大/医Ⅰ)
2017年昭和大/医131Q.gif

[11]数学的帰納法で解く漸化式
一般項を、漸化式から計算して求めることができない場合などは、最初の数項から一般項を類推し、その一般項を数学的帰納法で証明する、という方法を取ります。この方法にはいろいろと問題が提起されていますが、この方法で証明できるならそれはそれで正解です。
[例題]
Seq14Q.gif

[入試問題群]
[B]数学的帰納法で証明する漸化式問題(2012年東工大4)
2012東工大4Q.gif
[B]数学的帰納法で証明する漸化式問題(2011年大阪府立大学/経済31)
2011年大阪府立大学/経済31Q.gif
[C]数学的帰納法で証明する漸化式問題(2007年群馬大/医)
2007GunmaQ.gif
[C]数学的帰納法で証明する漸化式問題(2015年東大理科4)
2015TodaiS4Q.gif
[C]数学的帰納法で証明する不等式問題(2013年大阪府立大学/理工)
2013年大阪府立大学/理工Q.gif

[12]部分和と一般項の混在型
Combined.gif
この種の問題のキーポイントは、初項の値をどのようにして探すか、という点です。与式がどの項から規定しているかを注意深く調べる必要があります。
[例題]
Seq11Q.gif
[入試問題群]
[B]多項式型漸化式の部分和混在型の問題(2014年大阪府立大)
2014年大阪府立大学Q.gif
[B]部分和混在の漸化式問題(2008年熊本大/理系2)
2008KumaQ.gif
[C]部分和混在漸化式の問題(2002年京大/理系)
2002Kyodai_1Q.gif

[13]連立漸化式
Simul.gif
対称型の場合は和と差で、非対称型の場合はどうにか片方を消去して。いずれも等比数列に持ち込みます。
[例題]
Seq12Q.gif
[入試問題群]
[A]対称型連立漸化式の問題(改題、2008年東大)
2008TodaiBQ.gif
[B]非対称型連立漸化式の問題(2002年三重大)
2002MiedaiQ.gif

[14]漸化式を自分で作って解く問題
このパターンは難関校で頻出します。その中でも比較的やさしい問題が2014年に京大で出題されました。確率漸化式を作る問題としては非常にやさしいという点からは名問です。
[C]確率漸化式を作って解く問題(2014年京大理系)
2013OsakaKyoikuQ.gif
東大では、漸化式だけの問題はまず出題されず、整数などの新記号と絡めるか、確率と絡める問題が大半です。慣れておかないとまず解けません。この2題はどちらも名問です。
●単独漸化式
[D]漸化式を作って解く問題(2012年東大文理)
●連立漸化式
[D]連立確率漸化式を作って解く問題(2008年東大文理)
2008年東大理科2Q.gif

京極一樹数学塾.gif

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