難関大で頻出の体積積分の問題公開用 | 京極一樹の数学塾

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難関大・医大で頻出の体積積分の問題

回転体の積分はそうむずかしくはないのですが、回転する図形や断面の図形を自分で計算しなければならない問題の大半は難問に属します。回転体や立体の積分は次の3つのパターンに分類できます。これらがさらに、積分の内容によって数Ⅱと数Ⅲに分かれます。
問題を種別に分類してもっとわかりやすくした内容は、完全対策 微積分応用問題に収録しました。是非ご利用ください。

A 断面積分
断面積を積分すれば立体の体積が得られます。

  • A1:断面の外形が容易にわかる場合
  • A2:断面の外形を計算して求めなければならない場合

B 回転体積分
回転体の体積は断面積が円の面積に代わっただけです。回転軸がxyz軸の場合(B1)はその円の面積が比較的容易に得られますが、その円の半径が簡単には得られない場合(B2)があります。さらに、回転体の表面が回転軸と「ねじれの位置」にある場合(B3)はさらに難しくなります。回転軸がxyz軸ではない場合は、xy平面内の軸の場合(B4)と、xy、yz、xz平面内にはない軸の場合(B5)があり、それぞれ、回転軸を積分路として回転軸からの距離を半径とする円の面積を積分します。極座標を使う場合(B6)はB1のバリエーションに過ぎません。

  • B1:x軸またはy軸周りに回転する、断面の外形が容易にわかる場合
  • B2:x軸またはy軸周りに回転する、断面の外形を計算して求める場合
  • B3:回転軸に対して「ねじれた」位置にある線分を回転する場合
  • B4:回転軸がx軸やy軸ではないxy平面上の直線の場合
  • B5:回転軸が空間内の軸の場合
  • B6:極座標・極方程式での積分の問題

C 公差立体の積分(断面積分)
複数の立体の共通部分の体積積分を本サイトでは公差立体の積分と呼びます。計算方法はAの断面積分と同じなのですが、往々にしてこの種の問題は難しい問題になります。

これらの問題は、ほぼすべての難関大で頻出であり、難関大のみの傾向であって新しい傾向なので、市販の参考書でのあつかいは非常に少なく、難関大向の問題集には掲載されていますが、体型的な解説がほとんど見られません。難易度は、おおよそA1~Cの順番なので、これらに文系微積分(数Ⅱ)と理系積分(数Ⅲ)の別で分類して掲載します。調べてみて驚きました。体積積分の難問の半分以上は、文系積分の問題です。分野別・難易度順に紹介します。

●断面の積分問
非回転物体の体積計算の基礎的な例題を紹介します。
[例題]
体積積分例題Q.gif
[C]円柱の断片の体積の問題(2008年京大理系)
2008年京大理系5Q.gif
[C]円柱の断片の体積・断面積・速面積の問題(2017年大阪市大理系)
2016年大阪市大1Q.gif
[B]回転体の縦割り断面を積分する問題(2013年埼玉大文系)
2013年埼玉大文系4Q.gif
[C]回転体の縦割り断面を積分する問題(2017年慶應大/医)
2017慶応大/医4Q.gif
[B]体積積分の問題(2012年慶応大/商)
2012年慶応大/商Q.gif
[C]直方体の断面積と角錐の体積の問題(2016年慶応大/環境情報)
2016慶應・環境2Q.gif
[C]薄い板の体積の最大値の問題(2014年慶應大/理工)
2014慶應理工4Q.gif
[C]円板の回転通過領域の体積の問題(2009年東大理科)
2009年東大理科4Q.gif

●座標軸まわりの回転体の積分問
単純な回転体の体積の問題ならあまりむずかしくはない。
RotVol.gif
[例題]
KitentaiReidai1Q.gif
[C]回転体の体積の問題(2004年東大/理系)
2004TodaiS4Q.gif
[B]回転体の体積の問題(2015年阪大理系)
2015阪大理系4Q.gif
[C]回転体の体積の問題(2012年東大/理系)
2012TodaiRikei3Q.gif
[B]回転体の体積の問題(2012年九大/理系)
2009九大1Q.gif
[B]放物線と円が囲む領域の回転体の体積の問題(2016年阪大理系)
2016年阪大理系3Q.gif
[C]両軸周りの回転体の体積の問題(2016年日大/医5)
2016日大/医5Q.gif
[C]円錐を回転させた体積の問題(2013年阪大/理系)
2013大阪大理系4Q.gif
[C]円錐を回転させた立体の体積の問題(2017年東大理科)
2017東大理科6Q.gif
[C]集合と立体の体積の問題(2016年東京医科歯科大)
2016東京医歯2Q.gif
[B]三角関数が囲む回転体の体積の問題(2015年京大理系)
2015年京大理系1Q.gif
[C]三角関数が囲む回転体の体積の問題(2015年慶応大/理工)
2015慶應理工1Q.gif
[C]双曲線関数の回転体の体積の問題(2016年京大理系)
2016年京大理系4Q.gif
[C]トーラスの体積と極限値の問題(2012年慈恵医大3)
2012年慈恵医大3Q.gif
[C]トーラスの体積と極限値の問題(2014年阪大/理系)
2014阪大理系4Q.gif
[D]ガウス積分の近似値の問題(2015年東工大)
2015東工大3Q.gif
[E]複雑な回転体の体積の問題(2012年日本医科大3)
2012年日医大3Q.gif

●ねじれた線分を回転させる文系積分問題
[例題]
[B]断面を計算する回転体の体積(1984年東大理系)
1984TodaiS4Q.gif
[入試問題]
[C]ねじれた線分が描く回転体の体積(2012年東京医科歯科大)
2012年東京医科歯科大2Q.gif
[C]平行四辺形の回転体の体積を得る問題(2014年慈恵医大)
2014慈恵医大4Q.gif
[D]回転体の側面を求めて体積を得る問題(2008年東大/理系)
2008TodaiRikei3Q.gif

●傾いた軸のまわりの回転体の積分
[C]y=xのまわりの回転体の体積の問題(2014年理科大/理工/情報2)
2014年理科大情報2Q.gif
[C]y=mxまわりの回転体の体積の問題(2015年日医大3)
2015年日医大3Q.ai
[D]回転体のパラメータ積分の問題(2014年東工大4)
2014年東工大4Q.gif
[C]y=xまわりの回転体の体積の問題(2013年慶應大/理工4)
2013慶應理工4Q.gif
[C]y=2xのまわりに三角関数を回転した体積の問題(2014年獨協医大5)
2014年獨協医大5Q.gif
[C]立方体を斜めに回転した回転体の体積(2010年京大文系)
2010KyodaiS5Q.gif
[C]立方体の対角線の周りの回転の問題(2005年青山学院大/理工)
2005年青山学院大/理工4Q.gif

●極座標・極方程式の場合
○極方程式の場合でもπx^2を計算するのは同じです。比較的やさしい問題です。次に示すのは一般的に「リマソン曲線」と呼ばれるもので、極方程式が比較的簡単なので、入試問題によく取り上げられる主題です。
リマソン曲線.gif
他にもいろいろありますが、1つ解いておけば後はほぼ同じです。他に弧長の計算の例も示しておきます。
[入試問題]
[B]リマソン曲線の回転体の体積の問題(2009年京大/理系)
2009KyodaiS5Q.gif
[C]カージオイドの回転体の体積の問題(2011年名古屋市大/芸術)
2011NagoyaShidaiQ.gif
[D]原点と曲線両端を結ぶ図形の回転体の体積(2012年慶応大/医)
2012KeioIgakubuQ.gif
[C]絶対値記号付き媒介変数表示曲線の面積・体積の問題(2015年東京医科歯科大)
2015年東京医科歯科大3Q.gif

●公差立体の体積の積分
[例題]
交差円柱積分例題Q.gif
[C]複数の立体の共通部分の体積を得る問題(2013年慈恵医大)
2013年慈恵医大3Q.gif
[E]回転体の断面を求めて体積を得る問題(2013年東大/理系)
2013TodaiRikei6Q.gif
[C]複数の立体の共通部分の体積を得る問題(2012年阪大理系3)
2012阪大理系3Q.gif
[C]複数の立体の共通部分の体積の問題(2017年阪大理系)
2017年阪大理系5Q.gif
[D]円柱と四面体の差分の体積を得る問題(2012年東工大)
2012Tokodai6Q.gif

京極一樹数学塾.gif

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