難関大で頻出の媒介変数表示曲線 | 京極一樹の数学塾

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難関大で頻出の媒介変数表示曲線の問題

媒介変数表示、極座標と極方程式の関係をまとめておきます。極座標は媒介変数表示の一種であり、xy座標を動径rと偏角θで表したものが極座標、動径rと偏角θがこの場合の媒介変数です。極方程式は、曲線を動径rと偏角θで表したものであり、これら3つによる円の表示を比較して理解してください。

  • xy座標   x2+y2=a2
  • 極座標   x=acosθ、y=asinθ
  • 極方程式  r=a

まず最初に、極座標で表した基本の媒介変数表示曲線3種の基本例題を挙げます。これらだけで、入試問題の7割をカバーします。
●サイクロイド例題
サイクロイド例題Q.gif
●カージオイド例題
カージオイド例題Q.gif
●アステロイド例題
アステロイド例題Q.gif

[1]一般的な媒介変数表示曲線の面積の問題
[C]極座標表示曲線の問題(2014年自治医大)
2014自治医科125Q.gif
[B]極座標表示曲線の速度ベクトルの問題(2015年東工大)
2015東工大4Q.gif
[D]媒介変数表示曲線が囲む領域の面積の問題(2008年東大理科)
2008年東大理科6Q.gif
[C]絶対値記号付き媒介変数表示曲線の面積・体積の問題(2015年東京医科歯科大)
2015年東京医科歯科大3Q.gif

[2]典型的な媒介変数表示曲線の面積の問題
[B]サイクロイドが囲む面積を求める問題(2006年青山学院大)
2006年青学Q.gif
[D]サイクロイド類似曲線が囲む面積を求める問題(2016年慈恵医大)
2016慈恵医大2Q.gif
[C]アステロイド曲線が囲む面積を求める問題(2014年慶應大/理工)
2014慶應理工5Q.gif
[C]内サイクロイド曲線の描画と弧長の問題(2017年日大/医)
2017年日大/医5Q.gif
[B]エピサイクロイド曲線のグラフと面積の問題(2016年東工大)
2016年東工大5Q.gif
[C]カージオイドの弧長の計算問題(2005年岡山大/理系)
2005年岡山3Q.gif
[C]カージオイドの弧長積分の問題(2016年東海大/医)
2016年東海大/医22Q.gif

[3]極方程式が描く曲線の面積の問題

完全対策 複素数平面・2次曲線極方程式の分野の問題をわかりやすく解説しています。

[B]極方程式が囲む面積を求める問題(2011年横浜市大/医)
2011年横浜市大/医3Q.gif
[B]デカルトの葉が囲む面積を求める問題(2015年横浜市大/医)
2015年横浜市大/医12Q.gif

[4]極方程式が描く曲線と回転体の体積の問題
○極方程式の場合でもπx^2を計算するのは同じです。比較的やさしい問題です。次に示すのは一般的に「リマソン曲線」と呼ばれるもので、極方程式が比較的簡単なので、入試問題によく取り上げられる主題です。

  • r=2+cosθ(2009年京大理系)
  • r=2(1+cost)(2011年名古屋市大)

リマソン曲線.gif
他にもいろいろありますが、1つ解いておけば後はほぼ同じです。他に弧長の計算の例も示しておきます。

[B]サイクロイド曲線の回転体の体積の問題(2017年東京理科大/理工/情報)
2017年理科大情報2Q.gif
[B]リマソン曲線の回転体の体積の問題(2009年京大/理系)
2009KyodaiS5Q.gif
[C]カージオイドの回転体の体積の問題(2011年名古屋市大/芸術)
2011NagoyaShidaiQ.gif
[C]極方程式で表された曲線の回転体の体積(2012年慶応大/医)
2012KeioIgakubuQ.gif

[5]極座標・極方程式が描く曲線の弧長積分の問題
極座標・極方程式で表された曲線以外、すなわち直交座標で表された曲線の弧長問題は弧長積分問題で解説しています。

[B]極方程式で表された曲線の弧長問題(2005年熊本大理系)
2005KumamotoS4Q.gif
[C]極座標で表された曲線の弧長の極限の問題(2011年東大理科3)
2011東大S3Q.gif

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