微積分の平均値の定理・中間値の定理 | 京極一樹の数学塾

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微分と積分の平均値の定理と中間値の定理

平均値には2つの種類があり、どっちの問題なのかを素早く認識することが第一歩です。
IntegAve2.gif

●中間値の定理
中間値の定理は微分の平均値の定理とともに利用することが多いのですが、中間値の定理だけを利用する問題もあります。
[D]内分点と中間値の定理の問題(2014年東大理科4)
2014TodaiS4Q.gif


●(微分の)平均値の定理
[B]中間値の定理・平均値の定理の典型問題(2013年日大/医)
2013日大/医4Q.gif
[B]中間値の定理・平均値の定理の典型問題(2017年東京理科大/理工/情報)
2017年理科大情報3Q.gif

●積分の平均値の定理
積分の平均値の定理の証明はかなりの頻度で出題されています。平均値の定理の証明には「ロルの定理」という基礎定理を補題として利用します。これらの証明は次の頁に示しました。

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[C]数列の無限和と積分不等式の問題(1992年東京医科歯科大)
積分の平均値の定理でも図形を使っても解ける数列の無限和を求める問題です。
積分平均値の定理Q.gif
[C]積分の平均値の定理の問題(1999年京大理系後期)
1999KyotoKoukiQ.gif
[C]原始関数の定数差の証明問題(2014年大阪大挑戦枠)
2014年大阪大挑戦枠Q.gif

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