難関大で頻出の体積積分の問題 | 京極一樹の数学塾

HOME > 大学入試問題のツボ3 > 難関大で頻出の体積積分の問題

難関大・医大で頻出の体積積分の問題
(分類を精確にして大改造しました!)

回転体の積分はそうむずかしくはないのですが、回転する図形や断面の図形を自分で計算しなければならない問題の大半は難問に属します。回転体や立体の積分は次の3つのパターンに分類できます。これらがさらに、積分の内容によって数Ⅱと数Ⅲに分かれます。

A 断面積分
断面積を積分すれば立体の体積が得られます。

  • A1:断面の外形が容易にわかる場合
  • A2:断面の外形を計算して求めなければならない場合

B 回転体積分
回転体の体積は断面積が円の面積に代わっただけです。回転軸がxyz軸の場合(B1)はその円の面積が比較的容易に得られますが、その円の半径が簡単には得られない場合(B2)があります。さらに、回転体の表面が回転軸と「ねじれの位置」にある場合(B3)はさらに難しくなります。回転軸がxyz軸ではない場合は、xy平面内の軸の場合(B4)と、xy、yz、xz平面内にはない軸の場合(B5)があり、それぞれ、回転軸を積分路として回転軸からの距離を半径とする円の面積を積分します。極座標を使う場合(B6)はB1のバリエーションに過ぎません。

  • B1:x軸またはy軸周りに回転する、断面の外形が容易にわかる場合
  • B2:x軸またはy軸周りに回転する、断面の外形を計算して求める場合
  • B3:回転軸に対して「ねじれた」位置にある線分を回転する場合
  • B4:回転軸がx軸やy軸ではないxy平面上の直線の場合
  • B5:回転軸が空間内の軸の場合
  • B6:極座標・極方程式での積分の問題

C 公差立体の積分(断面積分)
複数の立体の共通部分の体積積分を本サイトでは公差立体の積分と呼びます。計算方法はAの断面積分と同じなのですが、往々にしてこの種の問題は難しい問題になります。

これらの問題は、ほぼすべての難関大で頻出であり、難関大のみの傾向であって新しい傾向なので、市販の参考書でのあつかいは非常に少なく、難関大向の問題集には掲載されていますが、体型的な解説がほとんど見られません。難易度は、おおよそA1~Cの順番なので、これらに文系微積分(数Ⅱ)と理系積分(数Ⅲ)の別で分類して掲載します。調べてみて驚きました。体積積分の難問の半分以上は、文系積分の問題です。分野別・難易度順に紹介します。

[A2Ⅱ]断面の文系積分問
非回転物体の体積計算の基礎的な例題を紹介します。
[例題]
体積積分例題Q.gif

[C]円柱の断片の体積・断面積・速面積の問題(2017年大阪市大理系)
2016年大阪市大1Q.gif
[B]回転体の縦割り断面を積分する問題(2013年埼玉大文系)<断面,Ⅱ>
2013年埼玉大文系4Q.gif
[C]回転体の縦割り断面を積分する問題(2017年慶應大/医)
2017慶応大/医4Q.gif
[B]体積積分の問題(2012年慶応大/商)<断面,Ⅱ>
2012年慶応大/商Q.gif
[C]直方体の断面積と角錐の体積の問題(2016年慶応大/環境情報)<断面,Ⅱ>
2016慶應・環境2Q.gif
[C]薄い板の体積の最大値の問題(2014年慶應大/理工)<断面,Ⅱ>
2014慶應理工4Q.gif

[B1Ⅱ]座標軸まわりの回転体の文系積分問
単純な回転体の体積の問題ならあまりむずかしくはない。
RotVol.gif
[例題]
KitentaiReidai1Q.gif
[C]回転体の体積の問題(2004年東大/理系)<x軸,Ⅱ>
2004TodaiS4Q.gif
[B]回転体の体積の問題(2015年阪大理系)<x軸,Ⅱ>
2015阪大理系4Q.gif
[C]回転体の体積の問題(2012年東大/理系)<両軸,Ⅱ>
2012TodaiRikei3Q.gif

[B1Ⅲ]座標軸まわりの回転体の理系積分問
[B]回転体の体積の問題(2012年九大/理系)<x軸,Ⅲ>
もっともやさしい部類の入試問題であり、置換積分は手間がかかるので、円や扇形・三角形の面積の計算で済ますのが得策です。
2009九大1Q.gif
[B]放物線と円が囲む領域の回転体の体積の問題(2016年阪大理系)<両軸,Ⅲ>
2016年阪大理系3Q.gif
[C]両軸周りの回転体の体積の問題(2016年日大/医5)<両軸,Ⅲ>
2016日大/医5Q.gif

[B2Ⅱ]座標軸まわりの回転体の計算が面倒な文系積分問

[C]円錐を回転させた体積の問題(2013年阪大/理系)<x軸,Ⅱ>
2013大阪大理系4Q.gif
[C]円錐を回転させた立体の体積の問題(2017年東大理科)
2017東大理科6Q.gif
[C]集合と立体の体積の問題(2016年東京医科歯科大)<x軸,Ⅱ>
回転半径を回転軸上のパラメータで表し積分します。回転軸がz軸のこの積分が文系問題であるとは驚きです。回転軸からの距離の計算にはベクトルの内積を利用します。
2016東京医歯2Q.gif

[B2Ⅲ]座標軸まわりの回転体の計算が面倒な理系積分問
[B]三角関数が囲む回転体の体積の問題(2015年京大理系)<x軸,Ⅲ>
2015年京大理系1Q.gif
[C]三角関数が囲む回転体の体積の問題(2015年慶応大/理工)<x軸,Ⅲ>
2015慶應理工1Q.gif
[C]双曲線関数の回転体の体積の問題(2016年京大理系)<x軸,Ⅲ>
2016年京大理系4Q.gif
[C]トーラスの体積と極限値の問題(2012年慈恵医大3)<x軸,Ⅲ>
2012年慈恵医大3Q.gif
[C]トーラスの体積と極限値の問題(2014年阪大/理系)<x軸,Ⅲ>
2014阪大理系4Q.gif
[D]ガウス積分の近似値の問題(2015年東工大)<x軸,Ⅲ>
体積積分は縦に積分しても横に積分しても同じ、という問題です。
2015東工大3Q.gif

[E]複雑な回転体の体積の問題(2012年日本医科大3)<断面,Ⅲ>
2012年日医大3Q.gif

[B3Ⅱ]ねじれた線分を回転させる文系積分問題
このような問題では、回転軸に沿って積分するので、回転軸上にパラメータを設定して、そのパラメータで回転軸からの距離(回転半径)を表すのが定石です。この種問題では、理系積分は要求されません。
回転体の積分.gif
数多くの大学で出題され、以前出題された問題が他の大学で出題されるというケースもあり、いくつかの問題をじっくり解いておくことが必要です。最初にあげる若干古い東大の問題が、以前に慶応大や東工大で出題された問題とほぼ同じ、超有名問題です。上図に示した構造通りの問題なので、例題として解き方をよく練習しておくとよいでしょう。
[例題]
[B]断面を計算する回転体の体積(1984年東大理系)<z軸,Ⅱ>
1984TodaiS4Q.gif
[入試問題]
上の例題を少しむずかしくしたのがこの問題です。ただしこの問題では、回転軸上にパラメータを設定できるので簡単です。
[C]ねじれた線分が描く回転体の体積(2012年東京医科歯科大)<x軸,Ⅱ>
2012年東京医科歯科大2Q.gif
次の問題は回転軸がxyz軸ではないために若干複雑になります。
[C]平行四辺形の回転体の体積を得る問題(2014年慈恵医大)<z軸,Ⅱ>
ベクトルで平行四辺形を求め、これを回転させてできる立体の体積を求める問題です。
2014慈恵医大4Q.gif
[D]回転体の側面を求めて体積を得る問題(2008年東大/理系)<z軸,Ⅱ>
回転体の側面を表す曲線をパラメータで表します。回転軸がz軸なので理屈は簡単ですが、正8面体の辺の回転軸からの距離をベクトルの直交性から得るのは難しい問題です。
2008TodaiRikei3Q.gif
正八面体回転図.gif

[B4Ⅱ] 傾いた軸のまわりの回転体の文系積分
斜めの軸のまわりに回転する場合には、次のいずれかの方法で計算します。
(a) x軸に垂直な断面での断面積を計算し、回転軸に垂直な平面に投影して、x軸にそって積分する。
(b) 回転軸上の原点からの距離を使って、曲線上のから直線までの距離を表して直線上で積分する。
(c)表面上の回転軸からの距離を計算して積分する。

[C]y=xのまわりの回転体の体積の問題(2014年理科大/理工/情報2)<y=x,Ⅱ>
2014年理科大情報2Q.gif
[C]y=mxまわりの回転体の体積の問題(2015年日医大3)<y=mx,Ⅱ>
2015年日医大3Q.ai
[D]回転体のパラメータ積分の問題(2014年東工大4)<y=x,Ⅱ>
回転軸がx軸になるように立体を回転させて積分する問題です。
2014年東工大4Q.gif

[B4Ⅲ] 傾いた軸のまわりの回転体の理系積分
[C]y=xまわりの回転体の体積の問題(2013年慶應大/理工4)<y=x,Ⅲ>
2013慶應理工4Q.gif
[C]y=2xのまわりに三角関数を回転した体積の問題(2014年獨協医大5)<y=2x,Ⅲ>
2014年獨協医大5Q.gif

[B5Ⅱ]空間内軸まわりの回転体の文系積分の問
[C]立方体を斜めに回転した回転体の体積(2010年京大文系)
2010KyodaiS5Q.gif
回転半径を回転軸上のパラメータで表し積分します。回転軸がz軸ではないので面倒ですが、形状が簡単です。回転軸からの距離の計算にはベクトルの内積を利用すると簡単です。
立方体回転.gif
[C]立方体の対角線の周りの回転の問題(2005年青山学院大/理工)
2005年青山学院大/理工4Q.gif

[B6Ⅲ]極座標・極方程式の場合
○極方程式の場合でもπx^2を計算するのは同じです。比較的やさしい問題です。次に示すのは一般的に「リマソン曲線」と呼ばれるもので、極方程式が比較的簡単なので、入試問題によく取り上げられる主題です。

  • r=2+cosθ(2009年京大理系)
  • r=2(1+cost)(2011年名古屋市大)

リマソン曲線.gif
他にもいろいろありますが、1つ解いておけば後はほぼ同じです。他に弧長の計算の例も示しておきます。
[入試問題]
[B]リマソン曲線の回転体の体積の問題(2009年京大/理系)<極,Ⅲ>
2009KyodaiS5Q.gif
[C]カージオイドの回転体の体積の問題(2011年名古屋市大/芸術)<極,Ⅲ>
2011NagoyaShidaiQ.gif
[D]原点と曲線両端を結ぶ図形の回転体の体積(2012年慶応大/医)<極,Ⅲ>
2012KeioIgakubuQ.gif
[C]絶対値記号付き媒介変数表示曲線の面積・体積の問題(2015年東京医科歯科大)<x軸,Ⅲ>2015年東京医科歯科大3Q.gif

[CⅡ] 公差立体の体積の文系積分
[例題]
交差円柱積分例題Q.gif
[C]複数の立体の共通部分の体積を得る問題(2013年慈恵医大)<断面,Ⅱ>
空間認識の難しい問題です。
2013年慈恵医大3Q.gif
[E]回転体の断面を求めて体積を得る問題(2013年東大/理系)<断面,Ⅱ>
回転体の断面を表す曲線をz=z(y)で表し、さらに回転体どうしの共有部分を求めるために共有部分の断面を表す方程式が必要になります。これは超難問です。
2013TodaiRikei6Q.gif

[CⅢ] 公差立体の体積の理系積分
[C]複数の立体の共通部分の体積を得る問題(2012年阪大理系3)<断面,Ⅲ>
複数の立体の共通部分の体積を水平断面を求めて計算します。
2012阪大理系3Q.gif
[C]複数の立体の共通部分の体積の問題(2017年阪大理系)<断面,Ⅲ>
2017年阪大理系5Q.gif
[D]円柱と四面体の差分の体積を得る問題(2012年東工大)<断面,Ⅲ>
空間認識の難しい問題です。
2012Tokodai6Q.gif

京極一樹数学塾.gif

京極一樹の物理塾
京極一樹の化学塾
----------------------------
[入試問題解説]
●センター試験数学入試問題
センター試験数学
●医大・難関大の数学入試問題
東京大 数学入試問題過去問一覧
京都大 数学入試問題過去問一覧
大阪大 数学入試問題過去問一覧
一橋大 数学入試問題過去問一覧
東工大 数学入試問題過去問一覧
国公立医大 数学入試過去問一覧
私立医大 数学入試過去問一覧
難関私大 数学入試問題一覧
国公立大 数学入試問題一覧
----------------------------
[難関大・医大合格の教材2017年版]
最新刊:入試直前対策3点
----------------------------
東大理科
日大/医
横浜市大/医
東大・京大・一橋大の文系数学
----------------------------
完全対策 微積分応用問題
完全対策 微積分基礎問題
完全対策 複素数平面・2次曲線問題
完全対策 数列・漸化式の極意
完全対策 整数問題の極意
完全対策 空間図形問題の極意
注文のご案内・簡易製本のご案内
入試問題解説書の販売条件一覧

京極一樹が貴方のための
受験大学の入試問題の学びやすい分野別解説・傾向分析書
をおつくりします!
センター試験数学対策問題集
センター試験化学対策問題集
ほんとうの数学入試試験対策
-------------------------------------
[個人指導]
京極一樹が個人指導・家庭教師お引き受けします。
受験生・高校生・大学生はこちら
受験生の遠隔指導引き受けます!
中学生・中高一貫校生はこちら
-------------------------------------

●分野別の数学入試問題
大学入試 数学入試問題の良問集大成
(数Ⅰ・数Ⅱ・数Ⅲ)

(数Ⅲ)

(数A)

(数B・数Ⅲ)

行列と一次変換(旧数C)
難関大学突破のためのトピックス

---------------------------------
東大数学入試問題を突破する方法
初めて見る問題を解く方法
どうして勉強するのか
---------------------------------
「数学以外のコンテンツ」は削除しました。
入試数学トップへ戻る
京極一樹の数学塾トップページへ戻る