関数方程式と微分方程式[数Ⅲ]数学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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大学入試で出題された関数方程式・微分方程式の問題

●関数方程式と微分方程式
関数方程式とは、関数形は与えられずに、関数が満たす方程式だけが与えられてその性質を調べる問題です。ここに微分係数が含まれたものが微分方程式です。この手の問題では、変数に具体的な値を代入したり、微分演算を行ったりして着手点を探します。多くは指数関数、対数関数あるいは三角関数とそれらの組合せに帰着されます。
問題を種別に分類してもっとわかりやすくした内容を、完全対策 微積分基礎問題に追録予定です。

[関数方程式・微分方程式の例題]
考えられるすべてのパターンの問題をそろえました。これだけやっておけば。関数方程式も微分方程式も怖いものなしでしょう。多くの場合、関数方程式として関数が満たす微分方程式を求め。その先に関数形を求めるのは微分方程式の問題になります。
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●関数方程式の問題
[C]関数方程式の問題(2009年慈恵医大)
2009慈恵医大Q.gif
[C]関数方程式の問題(2003年筑波大)
2003Tsukuba1Q.gif
[B]多項式の関数方程式の問題(2017年昭和大/医Ⅱ)
2017年昭和大/医245Q.gif
[B]多項式の関数方程式の問題(2009年京大文系)
2009年京大文系2Q.ai
[D]多項式の関数方程式の問題(2011年日本医科大)
2011年日医大2Q.gif
[B]多項式の関数方程式の問題(2017年東京理科大/理工/情報)
2017年理科大情報11Q.gif
[C]逆関数の関数方程式の問題(2017年慶應大/理工)
2017慶応理工13Q.gif
[C]双曲線関数の挙動を調べる問題(2007年京大/理系)
2007Kyodai_6Q.gif

●変数分離形の微分方程式
微分方程式は、1980年代までは頻繁に出題されていましたが、一時すたれたものの、最近は教科書上で「発展的内容」として取り上げられていることもあり、「変数分離形」に限ってしばしば出題されています。微分方程式は、一種の積分です。下に示すように、左右両辺にそれぞれ関数や変数を分離した場合、異なる変数の関数と微分が統合で無滑れているということは、両辺の差異が「積分して定数になる程度」であるということであり、両辺を積分して積分定数Cを付加し、この積分定数は初期条件で決める、という手順を追うだけです。
DifEqu.gif
[微分方程式の例題]
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●微分方程式の問題
[B]文系の微分方程式の問題(2012年埼玉大文系)
2012年埼玉大文系4Q.gif
[B]微分方程式と指数・対数の問題(2017年横浜市大/医)
2017年横浜市大/医4Q.gif
[B]微分方程式の問題(2011年横浜市大/医)
2011年横浜市大/医14Q.gif
[B]微分方程式の問題(2013年獨協医大)
2013年獨協医大5Q.gif
[B]微分方程式の問題(2010年同志社大)
2010Doushisha3Q.gif
[B]微分方程式の問題(2006年/京大理系後期)
2006年京大理系後期5Q.gif
[B]微分方程式の問題(2003年/北大理系)
2003Hokudai3Q.gif
[C]対数微分か積の微分を使う微分方程式(2009年横浜市大)
2009年横浜市大/医4Q.gif
[D]微分方程式の難しい問題(2015年鳥取大/医)
大学の微分方程式論の中では、乗微分方程式の非常に簡単な例なのですが、微分方程式論無しで解くには、かなり大胆な思い付きが必要な問題です。
2015鳥取大/医4Q.gif
関数方程式の難しい問題(2017年東京医科歯科大)[D]
2017東京医歯3Q.gif

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