微積分公式適用のテクニック | 京極一樹の数学塾

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微積分公式適用のテクニック

●微積分の基本公式
数Ⅱの微積分は多項式の微積分なので簡単です。数Ⅲでも微分は簡単です。公式通りの操作をするだけです。積分は「公式」「部分積分」「置換積分」の組合せです。主な公式を下に示します。主な公式の証明は、クリックすると別の頁に表示されます。最近は公式証明の入試問題が頻出なので、一度は確認しておいた方がよいでしょう。多分多くの方々は「そんな物知ってる」とお答でしょうが、問題は速さと正確さです。まずはこれらを整理します。

TRIGO.gif

なお本稿では、無駄な公式は示しません。「(a sin bx)'=ab(cos bx)」こんなものは、覚えるに値しないからです。この場合は

  • 微分では定数は外に出る(微分操作は線型性を満たす)
  • 合成関数の微分でも定数は外に出る(合成関数の微分操作は線型性を満たす)

ということさえわかっていれば十分です。もう少し簡単にいうと、上の計算は

  • (a sin x)'=a(sin x)'
  • (sin bx)'=b cos bx

さえわかっていればできるはず、ということです。暗記、暗記と焦っていると、試験会場で出てこなくなります。

●対数微分のテクニック
「関数の関数乗」のパターンの微分には。対数微分の手法が必須であり、そのほか因数の多い分数関数の微分も、対数微分の手法を適用した方が少し手間が省けて、かつ、正答率も少し上がると思いますこの項のために、別の頁対数微分を新設しました。

●2次関数・3次関数が囲む面積の積分公式
[2次関数・3次関数の積分の例題]
Reidai3Q.gif

●積の微分と部分積分
関数の積の微分と部分積分は裏表の関係にあります。
部分積分.gif
べき乗と三角関数・指数関数・対数関数の組合せの積分や、三角関数と指数関数の積など「異種関数の積」の積分には部分積分を利用します。三角関数の積分のツボご参照ください。

[部分積分の例題]
Reidai2Q.gif
部分積分が1回で済むとは限りません。指数関数×三角関数の積分でも2回必要でした。3回必要な場合もあります。三角関数に2乗以上のべき乗がかかっている場合や、対数のべき乗の場合は2回以上の部分積分が必要になります。xのべき乗×対数関数の積分は、べき乗が何乗になろうと部分積分は1回だけで済みます。

[部分積分の例題]
Reidai5Q.gif

[部分積分の入試問題]
[C]三角関数の部分積分の応用問題(2014年自治医大)
2014自治医科123Q.gif
[C]部分積分の問題(2012年京大)
2014年慶応大/医13Q.gif
[D]部分積分と極限値計算の難問(2015年東大理科6)
2015TodaiS6Q.gif

●置換積分の問題
数Ⅲ微積分の最骨頂は部分積分と置換積分の使いこなしです。置換積分活用のコツは、被積分関数の中で「f(x)とf'(x)の組合せを探し出すこと」です。なお、置換積分の結果が円の面積の一部に帰着できる場合には、積分計算するより面積計算する方が手が省けます。

[置換積分の例題]
Reidai4Q.gif

次に紹介するのは、問題には三角関数はないが、三角関数を使わないと積分できないパターンです。無理関数を開く場合は、関数に絶対値記号が必要ですが、根号内が負になることは考えられないので、一般的には絶対値記号は不要になります。この3パターン以外は、高校数学の範囲ではほぼ計算不能です。

TIKANSEKIBUN.gif

[置換積分の定積分の例題]
定積分の場合は関数値の符号が確定できます。
Reidai6Q.gif

大学数学ではもう1つ、双曲線関数を利用できます。その場合は「1-x^2」のみならず、「1+x^2」の積分に置換積分が利用できます。この関数は、その名前は明示できないのでしょうが、入試問題の題材として誘導付きでよく利用されます。知らずにぶち当たると辛いので、双曲線関数の頁で概要を解説しておきます。

[置換積分の入試問題]
[C]置換積分の問題(2007年京大)
2007Kyodai1_1Q.gif
[B]三角関数の置換積分の問題(2017年横浜市大/医)
2017年横浜市大/医12Q.gif
[C]置換積分と部分積分の融合問題(2012年京大)
2012KyodaiS12Q.gif
[C]三角関数の置換積分と部分積分の融合問題(2008年横浜市大/医)
2008年横浜市大/医12Q.gif
[C]置換積分の問題(2011年京大)
2011KyodaiS12Q.gif
[C]三角関数の合成と置換積分の問題(2013年横浜市大/医)
2013年横浜市立大/医15Q.gif
[B]置換積分と部分積分と極限計算の問題(2010年横浜市大/医)
2010年横浜市大/医12Q.gif

●合成関数と逆関数の導関数
関数f(x)の導関数df/dxは、f(x)に含まれる何かのパラメータg(x)を使って、いつでもdf/dg・dg/dxのように分解でき、この関係を駆使する問題は山のようにあります。これが合成関数の導関数です。また、逆関数の導関数は導関数の逆数です。
微分.gif

○合成関数の導関数の問題
[A]やさしい合成関数積分の問題(2014年自治医大)
2014自治医科124Q.gif
[D]チェビシェフの多項式の漸化式問題(2008年慶応大)
2008KeioQ.gif

○逆関数の導関数の問題
[例題]tanxの逆関数の導関数
tanの逆関数の導関数の公式Q.gif
[逆関数の微分の入試問題]
2014BoueiIdaiQ.gif

●三角関数と分数関数の積分
三角関数の積分は特に複雑なので、三角関数の積分のツボにまとめました。
分数関数の積分には「手順」があり「パターン」があります。分数関数の積分の5つのパターンにまとめました。
また、「部分分数分解の手法」もあります。複雑な分数関数は部分分数に分解すると積分しやすくなります。これを問う入試問題を紹介します。これは例題ともいえるものです。

[B]分数関数の部分分数分解の問題(2012年横浜市大/医)
2012年横浜市立大/医3Q.gif
なお、複雑な関数の不定積分を確認するには最適な検算サイトを紹介しておきます。

●高次導関数と二項係数の問題
[入試問題]
[C]高次導関数と二項係数の問題(2013年横浜市大/医)
2013年横浜市立大/医2Q.gif

京極一樹数学塾.gif

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