たかが12パターンの微積分問題 | 京極一樹の数学塾

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たかが12パターンの微積分問題

微積分問題の傾向も漸化式の場合と同様に、

  • 教科書の範囲の境界周辺の問題や
  • 教科書だけでは対応しきれないが多く、
  • 特に教科書の「発展的内容」に要注意

です。「微積分のツボ」でも入試問題の範囲ごとに例題を上げて解説します。微積分を教科書で分類すれば、数Ⅱ・数Ⅲの微分・積分で4分類かもしれませんが、入試問題から見ればこれは12のパターンに分類されます。そして体積積分、微積分不等式や双曲線関数問題は最近増えている出題であり、市販の参考書にはほとんど収録されていません。これら微積分の応用問題に対しては、十分準備が可能です。
1 極限値
2 微積分の公式と計算
3 文系微積分
4 数Ⅲ微分
5 数Ⅲ積分と面積計算
6 体積積分
7 弧長積分
8 微積分不等式
9 平均値の定理
10 関数方程式と微分方程式
11 双曲線関数
12 微積分漸化式

[1] 回転体や立体図形の積分の問題
回転体の積分はそうむずかしくはないのですが、回転する図形や断面の図形を自分で計算しなければならない問題は難問に属します。しかし理屈がわかってしまえばそう難しい問題ではありません。入試の最重要ポイントの1つであり、[数Ⅲ]回転体積分問題のツボで解説します。

[2] 積分不等式の問題
これもまったく見慣れない問題によく出くわす分野なのですが、そんなにたくさん種類があるわけではないので、一通り[数Ⅲ]積分不等式問題のツボで解説します。

[3] 関数方程式・微分方程式の問題
関数方程式とは、関数形は与えられずに、関数が満たす方程式だけが与えられてその性質を調べる問題です。この手の問題では、変数に具体的な値を代入したり、微分演算を行ったりして着手点を探します。多くは指数関数、対数関数あるいは三角関数とそれらの組合せに帰着されます。これも入試の最重要ポイントの1つであり、[数Ⅲ]関数方程式と微分方程式で解説します。

[4] 積分の平均値の定理
これも入試の最重要ポイントの1つであり、[数Ⅲ]積分の平均値の定理で解説します。

[5] 双曲線関数が背景にある問題
双曲線関数は三角関数によく似た性質を持つ、指数関数の組合せで表現できる関数です。その名前を明示せずに、出題されます。双曲線関数の性質は[解説]双曲線関数とは何かを参照してください。

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