4次関数 | 京極一樹の数学塾

4次関数の問題群

文系微積分問題は、今までは「原則3次関数まで」とされてきましたが、それでもまれに4次関数の問題がまれに出題されてきました、しかし新学習指導要領の傾向の変化によって公式に「4次関数まで」と範囲が拡大したので、今後は一層4次関数問題が出題されることになります。

4次関数問題では、微分して得られる3次関数をあつかう問題が多く出題されることが予想されます。また4次関数は、n次関数のなかで初めて「二重接線」、すなわちn次関数に2つの接点で接する関数が可能になります。さらにこれに伴い、2次関数・3次関数と同様に、接線と関数で囲まれる領域の面積が(β-α)^5/30でられるというような面積公式もありますが、これはまだ公式として利用するには至っていません。

  • 2次関数の場合
    • 2次関数と直線が交差する2点のx座標をα、β(α<β)として、S=(β-α)^3/6
  • 3次関数の場合
    • 3次関数と接線が交差する点のx座標をα、β(α<β)として、S=(β-α)^4/12
  • 4次関数の場合
    • 4次関数と二重接線の接点のx座標をα、β(α<β)として、S=(β-α)^5/30

n次関数.gif

●やさしい問題
このレベルでは、特に苦労する点はありません。
[A]4次関数と2次関数が囲む面積の問題(2012年京大/文系)
2012KyodaiL11Q.gif
[A]4次関数の挙動の問題(2014年自治医大)
2014自治医科121Q.gif
[B]放物線上の点と定点との距離の最小値の問題(2014年自治医大)
2014自治医科122Q.gif
[B]2次式を置き換えて解く問題(2012年慶應大/環境情報)
2012慶應・環境3Q.gif
●本質的な問題
4次関数の基本事項の証明問題です。
[C]3次・4次関数の対称性の問題(2004年名古屋大/理学部後期)
2004年名大1Q.gif
以降は、4次関数の3次関数より難しくなりそうな要素を含む問題です。
[C]4次関数の極大値・極小値・変曲点の数を求める問題(新作問題)
中身は導関数の3次関数を分析することです。
4次関数Q.gif
[C]4次関数の二重接線と囲む面積を求める問題(新作問題)
計算に若干手間がかかる問題です。
二重接線Q.gif
●計算がかなり大変な問題
[C]4次関数の極値の問題(2016年順天堂大/医)
4次関数の係数決定は、3次関数よりはるかに面倒です。
2016順天堂大14Q.gif

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