確率問題 [数A] 大学数学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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確率の問題を解く手順

確率漸化式はこちらで解説しています。

確率の問題は基本的には次の手順で解きます。
(1) 事象が起きる条件を分析する。

  • この段階で5種類の順列・組合せのどれが適切かを考える。
  • たとえば、カードを並べたら順列、選んだら組合せ
  • カードを元に戻したら独立試行(毎回確率が同じ、他の試行の影響を受けない=従属していない=独立)

(2) 余事象・和事象・積事象の確率のどれを利用するかを分析する。
(3) 個々の事象の場合の数と確率を計算する。
問題には、単なる確率問題か、数列・図形を利用するか、さらに漸化式を利用するなど、様々なパターンがあります。

[例題]順列・組合せの場合の数と確率の例題
順列組合せ例題Q.gif
[C]同じものを含む順列の問題(2014年昭和大/医)
2014昭和大/医131Q.gif
[C]4色の玉を2箱に分ける重複順列と確率の問題(2009年東大文理共通)
2009年東大理3文3Q.gif

●確率問題を素早く解くコツ:
私立3医大東海大/医・日大/医・昭和大/医の分野別難易度順解説書の著作を通して、確率問題が大きく分けて次の4つに分類できることをまとめました。これらを素早く判別して計算式を書き上げることがスピードアップのコツです。
(1) 同時に取り出す ⇒ 確率は組合せの数の比
[A]赤玉2個白玉2個が同時に出る確率の問題(2014年日大/医13)
2014日大/医13Q.gif
[A]同色玉2個が同時に出る確率の問題(2015年昭和大/医112)
2015年昭和大/医112Q.gif
(2) 試行を繰り返す ⇒ 確率は掛け算⇒ 4回目に2度目 ⇒ 4回中2回→4C2
[A]4回目に2度目の赤玉が出る問題(2016年日大/医14)
2016日大/医14Q.ai
[A]試行を3回繰り返す確率の問題(2016年東海大/医213)
2016年東海大/医213Q.gif
(3) くじを元に戻さない確率 ⇒ 分母分子が1つずつ減る
[A]元に戻さないくじの問題(2015年昭和大/医212)
2015年昭和大/医212Q.gif
(4) n回繰り返す成功確率 ⇒ nCr・p^r(1-p)^n-r
[B]反復試行確率とゲームの問題(2016年昭和大/医221)
2016年昭和大/医221Q.gif

●余事象の確率の問題
[A]余事象の確率の問題
2017年東海大/医121Q.gif
[B]失敗して球が増える確率の問題(2009年京大文系)
2009年京大文系12Q.ai

●サイコロの確率問題
[B]2つのさいころの目と三角関数の確率の問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医122Q.gif
[B]3つのさいころの条件充足確率の問題(2013年阪大)
2013大阪大文系2Q.gif
[B]3つのさいころの目の倍数確率の問題(2012順天堂大/医)
2012順天堂大11Q.gif
[C]3つのさいころの確率の問題(2014年大阪市大)
2014OsakaSidai4Q.gif
[B]3つのさいころのゲームの確率の問題(2017年慈恵医大)
2017年慈恵医大11Q.gif
[B]さいころを投げる回数の最小値の問題(2017年早大/政経)
2017年早稲田大/政経13Q.gif
[C]さいころをn回投げた目の最大・最小の差の確率の問題(2017年京大文系)
2017年京大文系5Q.gif
[C]さいころを4・5回投げる賭けの確率の問題(2017年昭和大/医Ⅰ)
2017年昭和大/医12Q.gif

[C]コーシー・シュワルツの不等式が必須な確率問題(2008年東工大)
2008ToukoudaiQ.gif
[C]立方体の各面を塗る確率の問題(2016年順天堂大/医)
2016順天堂大11Q.gif

●割り切れる確率の問題
[C]割り切れる確率の問題(2013年一橋大)
2013一橋大5Q.gif
[C]割り切れる確率の問題(2017年京大理系)
2017年京大理系6Q.gif

●カードの確率問題
[B]3種のカードを男女が引く確率の問題(2009年横浜市大/医)
2009年横浜市大/医12Q.gif
[B]2枚のカードの小さい方が一致する確率の問題(2011年京大)
2011KyotoS11Q.gif
[B]2枚のカードの大きな点数が得点となる問題(2013年昭和大/医)
2013昭和大/医113Q.gif
[B]3枚のカードの番号の問題(2014年慈恵医大)
2014慈恵医大11Q.gif
[B]3枚の札の番号が順に大きくなる確率の問題(2006年東京理科大)
2006東京理科Q.gif
[C]3枚の札の番号が順に大きくなる確率の問題(2012年京大)
2012KyotoS12Q.gif
[C]カードの和と積の問題(2006年一橋大)
2006HitoQ.gif
[B]確率からカードの枚数を求める問題(2014年日本医科大)
2014年日医大1Q.gif
[B]4枚のカードと4つの玉の確率の問題(2016年慈恵医大)
2016慈恵医大11Q.gif
[C]4種10枚のカードを引く確率の問題(2017年慶應大/理工)
2017慶応理工4Q.gif
[C]n枚のカードの一番下のカードが一番上にくる確率の問題(2009年京大理系)
2009年京大理系3Q.gif

●同じものを含む順列の確率の問題
[C]同じものを含む順列の確率の問題(2014年埼玉大)
2014SaitamadaiQ.gif
[C]同じものを含む順列の問題(2013年東工大)
2013TokodaiQ.gif
[B]色数の確率の問題(2013年北里大/医)
同じものを含む問題ですが順列ではなく色数ごとの確率を問う問題です。
2013北里大/医14Q.gif
[C]2n枚のカードからm枚のカードを選ぶ確率の問題(2015年東京医科歯科大)
2015年東京医科歯科大1Q.gif

●格子点上の移動の確率の問題
[B]格子の上を移動する確率の問題(2015年京大文系)
2015年京大文系3Q.gif
[C]対称移動確率の問題(2013年京大文系)
2013KyodaiS6L5Q.gif
[C]同じものを含む順列の確率の問題(2014年埼玉大)
2014SaitamadaiQ.gif
[B]コインによる格子点上の移動の確率の問題(2015年東海大/医22)
2015年東海大/医22Q.gif
[C]格子点上の移動の確率の問題(2017年東大理科2・文科3)
2017東大理科2文科3Q.gif

●数直線上の移動の確率の問題
[D]対称移動確率の問題(2013年京大文理共通)
2013KyodaiS6L5Q.gif
[B]試行回数の期待値の問題(2013年慈恵医大)
2013年慈恵医大11Q.gif

●図形上の移動の確率の問題
[B]正三角形の辺上の移動の確率の問題(2016年東工大)
2016年東工大2Q.gif
[B]正四面体上の移動の確率の問題(2008年京大理系)
2008年京大理系2Q.gif

●その他のさまざまな問題
[C]さいころを4回投げて指定領域に入る確率の問題(2010年阪大)
2010阪大文系3Q.gif
[B]多角形上の平行直線の確率の問題(2015年一橋大)
2015年一橋大3Q.gif
[B]場合の数を数えれば解ける確率の問題(2012年慈恵医大)
2012年慈恵医大13Q.gif
[D]コインの裏表の難問(2011年東京医科歯科大)
2011東京医科歯科1Q.gif
[B]くじをひく回数の問題(2014年慶應大/理工)
2016年京大文系2Q.gif
[D]3つの文字表示の確率問題(2013年横浜市大/医)
2013年横浜市立大/医13Q.gif
[C]マス目を数えれば解ける正20面体の確率の問題(2014年京大)
2014KyodaiL5Q.gif
[B]色の確率の問題(2014年昭和大/医)
2014昭和大/医231Q.gif
[A]玉を取り出すゲームの問題(2015年慈恵医大)
2015年慈恵医大11Q.gif
[C]玉を取り出すゲームの問題(2013年獨協医大2)
2013年獨協医大2Q.gif
[A]同じ色の玉を取り出す確率の問題(2014年自治医大)
2014自治医科18Q.gif
[C]黒ボールを取り出す複雑な問題(2016年慶応大/環境情報)
2016慶應・環境1Q.gif
[C]確率と期待値の問題(2017年慶應大/環境情報)
2017慶応環境4Q.gif
[C]トーナメントの優勝確率の問題(2017年慶應大/総合政策)
2017総合政策5Q.gif
[C]ブロック積みの確率の問題(2007年東大文理共通)
2007年東大文4理5Q.gif
[B]ゲームと二項展開の問題(2017年早稲田大/理工)
2017年早稲田大/理工4Q.gif

●反復試行確率の問題
[B]反復試行確率の基本問題(2016年東京理科大/理工/情報)
2016年理科大情報12Q.gif
[B]コインによる格子点上の移動の確率の問題(2015年東海大/医22)
2015年東海大/医22Q.gif
[C]反復試行確率と極限計算の問題(2016年昭和大/医11)
2016年昭和大/医11Q.gif
[C]反復試行確率と極限計算の問題(2017年横浜市大/医)
2017年横浜市大/医3Q.gif

●条件付き確率の問題
[B]条件付き確率のやさしい問題(2017年昭和大/医Ⅱ)
2017年昭和大/医211Q.gif
[B]条件付き確率の基礎問題(2013年早稲田大国際教養)
2013年早稲田大/国際教養3Q.gif
[C]条件付き確率の問題(2016年北大理系)
2016年北大理系3Q.gif
[C]条件付き確率の問題(2016年東大文理一部共通)
2016年東大S2Q.gif

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