二項定理と組合せ記号 [数Ⅱ] 大学数学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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二項定理・多項定理と組合せ記号

出題されるとなかなかとっつきにくい問題が多い分野なので、できるだけすべての関係式を取り上げたいと思います。この分野はもう少し成長させます。

二項定理と二項係数の関係式

二項定理とともに、頻繁に登場する関係式を紹介します。
NikouTeiriA.gif
二項定理の証明

さらに二項定理から得られる関係を例題にまとめました。
[例題]
NikouVariousQ.gif
二項定理が絡むと難問が多くなります。
[入試問題]
[C]二項係数の計算問題(2005/2013年横浜市大/医)
2005横浜市大/医11Q.gif
[B]二項定理の応用問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医117Q.gif
[C]高次導関数と二項係数の問題(2013年横浜市大/医)
2013年横浜市立大/医2Q.gif
[B]高次導関数と二項定理の問題(2011年横浜市大/医)
2011年横浜市大/医13Q.gif
[D]整式の係数の整数性の証明問題(2007年東大理科)
2007年東大理科1Q.gif
[D]組合せ、確率、二項定理の問題(2001年東工大)
2001TokodaiQ.gif

二項定理と整数の問題

二項定理の対象は整数だけなので、これを使った整数問題も数多くあります。類題を2題紹介します。
[入試問題]
[C]二項定理にかかわる整数問題(2006年早稲田/政経)
2006WasedaQ.gif
[C]二項定理を利用した整数問題(2009年東大文理共通)
2009年東大文2理1Q.gif

組合せ記号の問題

二項定理は出てこないが、なかなか手ごわい問題もあります。
[入試問題]
[B]組合せ記号を展開する問題(2010年佐賀大)
2010佐賀大Q.gif
[D]因数2の個数を比較する問題(2015年東大理科5)
2015TodaiS5Q.gif

整数・自然数の不定方程式の解の数

これらに対して、合計がnとなるr個の整数・自然数の不定方程式の解の数は次の式に従います。
不定1次方程式の整数解.gif

[入試問題]
[C]自然数・整数の数の問題(2006年東京医科歯科大)
2006TokyoIkashikaQ.gif
[C]各桁の数字が1組の不等式を満たす整数の数の問題(新作問題)
SinsakuQ.gif

多項定理とその証明

多項定理とその証明を紹介します。
多項定理.gif
多項定理は、その全体を利用するというよりはそれぞれの係数を問う問題が多いと思います。多項定理の代わりに項数が3項の三項定理を証明します。
三項定理の証明

[入試問題]
[A]三項定理の係数の問題(2013年北里大/医)
2013北里大/医12Q.gif
[B]三項定理の係数の問題(1991年関西学院大)
1991年関西学院大Q.ai
[B]三項定理と順列の問題(2013年岩手大文系)
2013年岩手大文系Q.ai

京極一樹数学塾.gif

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