有理数・無理数 [数A] 大学数学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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有理数・無理数の問題

有理数は整数の分数で表現できる実数、無理数はそれ以外の実数です。数の分類を下表に示します。
Numbers.gif

[例題]
[B]素数の平方根が無理数であることの証明
EX8Q.gif

[入試問題]
この種の問題はふつうは倍数などの関係を使って背理法で証明しますが、まれに数学的帰納法で証明する問題もあります。

●無理数の計算問題
[B]無理数の小数部分を抜き出す問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医111Q.gif

●数学的帰納法で証明する問題
[B]整数と無理数に関係する証明問題(2013年静岡大/理系)
2013ShizuokaQ.gif

●背理法で証明する問題
[B]無理数に関係する証明問題(2015年阪大理系)
2015阪大理系3Q.gif
[B]無理数の和・積・べきは無理数か(2007年佐賀大文系)
2007年佐賀大文系Q.gif
[B]素数の平方根は無理数
sosuu_murisuuQ.gif
[D]tan1°が無理数であることを証明する問題(2006年京大/後期理系)
2006KyodaiKoukiQ.gif
[C]背理法で割り切れることを証明する問題(2012年京大/理系)
2012KyodaiS4Q.gif
[D]背理法を使う難問(2009年京大理系)
2009年京大理系6Q.gif
[C]ネピアの数が無理数であることの証明
e_murisuuQ.gif
[C]三角不等式と無理数の問題(2017年阪大理系3)
2017年阪大理系Q3.gif

円周率」が無理数であることの証明は非常に難しく、多くの証明では微積分を利用します。
[E]円周率が無理数であることの証明(2003年大阪大/理系後期)
2003大阪大理系後期Q.gif
[E]円周率は無理数であることの証明(ニーベンの証明による新作問題)
ニーベンの証明Q.gif

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