公式わかればやさしい約数の問題 大学数学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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公式わかればやさしい約数の問題

約数も整数の問題の一種ですが、かなりの分量になるので、別個に頁を設けました。約数の問題は大きく分けて「個数や総和の計算問題」、「その他の約数の問題」と「完全数の問題」に分類されます。

約数の個数や総和の問題

次に示す個数や総和の公式は入試には必須です。逆に考えれば、これらの公式さえ使いこなせれば、約数の問題は非常にやさしいということになります。
約数の数と総和.gif

[例題]
[A]整数の約数の個数と総和を求める(2004年明大/政治経済)
2004明大政治経済Q.gif
[A]約数の個数・平均についての問題(2016年慶應理工11)
2016慶應・理工11Q.gif

[入試問題]
[A]約数の総和の計算問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医113Q.gif
[B]約数の個数の最大値の問題(2006年東京理科大/理工)
2006東京理科理工1Q.gif
[B]約数の積を求める問題(2011年早稲田/商)
2008早稲田商13Q.gif
[C]約数の数から整数を求める問題(2008年早稲田/商)
2011早稲田商13Q.gif
[C]約数の数などから整数を求める問題(2017年東工大)
2017年東工大1Q.gif
[C]剰余類と約数の総和の応用問題(2010年広島大/理系)
2010広島大5Q.gif
[D]約数の総和についての証明問題(2002年九大/理系)
2002九大2Q.gif
[B]整数解と約数の個数の問題(2012年一橋大)
2012一橋大1Q.gif
[B]因数2の個数を比較する問題(2015年東大理科5)
2015TodaiS5Q.gif

整数の素因数の倍数の数の問題

約数の個数や合計を求めるのではない約数の問題です。

[C]整数との最大公約数が1の整数の個数の問題(2015年一橋大)
2015年一橋大1Q.gif

完全数、不足数、過剰数、友愛数

これらの数は、「博士の愛した数式」という書籍で紹介されている「特別な整数」なのですが、実は入試にもよく出題されています。初めて見るとそれらの問題はかなり難問に見えるので、その内容を紹介します(弊著「数学再入門」ご参照ください)。
●完全数、過剰数、不足数とは何か
完全数.gif完全数、過剰数、不足数は次のように定義されます。
自分自身を除いた約数の合計が、
○自分自身と等しい自然数: 完全数
○自分自身より大きい自然数 : 過剰数
○自分自身より小さい自然数 : 不足数
実例を右に示します。
完全数nとその約数の合計s(n)の関係は「s(n)-n=n」または「s(n)=2n」のように記述されます。
●100までの自然数の分類
100までの自然数を分類すると、次のようになります。完全数にはものすごい希少価値があることがわかります。
○過剰数: 22個(約数の和の最大値は96の約数の和の156)
○完全数: 2個(6と28のみ)
○不足数: 76個(そのうち素数は25個)
●完全数とメルセンヌ素数
完全数は2014年時点で48個が見つかっており、これらはすべて偶数であり、末尾はすべて6か8です。これらの完全数は「メルセンヌ素数」と呼ばれる、素数をpとして「 (2^p)-1」で表される「特別な素数」と1対1に対応しています。つまり、メルセンヌ素数に対応する数は完全数であり、全ての偶数の完全数がメルセンヌ素数に対応しています。「偶数の完全数が無数に存在するか」「奇数の完全数は存在するか」「末尾が6か8以外の完全数は存在するか」という問題は未解決だそうです。
●友愛数は2つの自然数の組
完全数などは1つの自然数のお話ですが、友愛数(親和数)は「自分自身を除いた約数の合計」が、互いに相手と等しい「2つの自然数の組」です。一番小さな友愛数の組は(220、284)です。これは完全数2つ分以上の希少価値があります。友愛数の他に「婚約数」(準友愛数)というものもあり、これは「1と自分自身を除いた約数の合計」が、互いに相手と等しい2つの自然数の組です。一番小さな婚約数の組は(48、75)です。
メルセンヌ素数.gif

[入試問題]
[B]完全数についての計算・証明問題(2000年佐賀大)
2000佐賀大Q.gif
[D]完全数についての証明問題(2007年千葉大後期)
2007千葉大後期Q.gif
[C]完全数の類題(2016年東京医科歯科大)
2016東京医歯1Q.gif

京極一樹数学塾.gif

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