場合の数 [数A] 大学数学入試問題 | 京極一樹の数学塾

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場合の数を使いこなす

組合せ記号nCrが登場する問題には慣れが必要です。

  • 順列・組合せなどの場合の数と確率は依然数Aの範囲に属しますが、二項定理は数Ⅱに移行しました。
  • このページでは確率漸化式はあつかわず、こちらで解説しています。

●場合の数と確率(数A)
離散確率は確率の数学のなかでもやさしい分野の数学で、「とびとびの事象」(離散事象)を対象とします。この場合、確率は「場合の数の比」です。ある事象の起きる確率とは、その事象が起きる「場合の数」の、「すべての場合の数」に対する比です。そしてこの場合の数を計算する方法が次の5つの手法です。「場合の数を求めよ」だけの問題は珍しかったのですが、最近増えつつあるので、確率の項と分離させました。本稿では場合の数を解説し、こちらで確率を解説します。

  • 順列
  • 組合せ
  • 重複順列
  • 重複組合せ
  • 同じものを含む順列

余事象など.gif
事象の確率は、場合の数n(A)と確率P(A)のどちらでも記述でき、問題に応じて計算が簡単な方で計算します。

●組合せ記号(数A)
下に組合せ記号(Combination)の意味するところとその性質を示します。組合せ記号ではn-rとrを交換しても値は変わりません。それは、「n個の中からr個を選ぶ」ことと「n個の中から残すr個を選ぶ」こととは同じことを意味するからです。
NikouTeiriB.gif
なお、組合せ記号の操作にかかわるむずかしい問題は二項定理と組合せ記号であつかいます。

●順列・組合せと重複順列・重複組合せ(数A)
順列と組合せ、重複順列と重複組合せの違いの認識は重要であり、これらを区別して認識できれば、後は計算問題となります。順列と組合せの違いは順序を区別するかどうか、重複順列と重複組合せの違いは「同じものが含まれるかどうか」です。具体例を示します。1から3までの3つの数字のカードがあって、そのカードを並べる「場合の数」の考え方は次の通り。

  • 順列:      (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2)の6通り
  • 組合せ:     (1,2), (1,3), (2,3)の3通り
  • 重複順列:    (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)の9通り
  • 重複組合せ:   (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3),(3,3)の6通り

順列組合せ.gif

[例題]組合せの例題
組合せの例題Q.gif
[例題]数字の例題
数字の例題Q.gif
[例題]順列・組合せの場合の数と確率の例題
順列組合せ例題Q.gif

[入試問題]
[C]0か1を同数並べる並べ方の数の問題(2015年阪大理系5)
2015阪大理系5Q.gif
[C]かならず0を含む数字の問題(2011年大阪府立大)
2011OsakaFudaiQ.gif
[B]7つの数から6桁の数を作る問題(2017年日大/医)
2017年日大/医21Q.gif
[B]指定値より小さい3桁の数を作る問題(2017年東海大/医)
2017年東海大/医212Q.gif

同じものを含む順列(数A)
まぎらわしいのが次の3つの場合の数の考え方です。

  • A:重複順列(異なるn個のものから重複を許してr個を取り出して並べた順列の総数)
  • B:同じものを含む順列(n個のもののうち、同じものが含まれているときの順列の総数)
  • C:重複組合せ(異なるn個のものから重複を許してr個を取り出す組み合わせの総数)

AとCの違いは上の例でわかるでしょうから、AとBの違いを説明します。Aの場合は「異なるn個のもの」のそれぞれの個数には上限がないのですが、Bの場合は「ものによって個数の上限がある」上に「あるものすべてを並べなければならない」ので、重複しない順列から始めて、重複度で割る必要があります。具体例で説明します。

[重複順列]a、b、cの3つの記号を重複を許して6個並べる並べ方は3^6=729通り。
[同じものを含む順列]aが3個、bが2個、cが1個ある、この6個の並べ方は(3+2+1)!/3!2!1!=60通り。
[重複組合せ]a、b、cの3つの記号を重複を許して6個選ぶ組合せの数は3H6=8C6=8C2=28通り。

[例題]
[B]同じものを含む順列の例題(2010年関西学院大)
[同じものを含む順列]に関しての典型的な「最短経路問題」です。他の問題はこの問題のバリエーションです。
2010KangakuQ.gif

[入試問題]
[B]各桁の数が順に大きくなる4桁の数の問題(2015年日大/医)
2015日大/医24Q.gif
[A]場合の数の問題(2016年慶応/医11)
2016慶応大/医11Q.gif
[C]碁盤上に碁石をおく場合の数の問題(2016年慶應大/総合政策)
2016慶應・政策1Q.gif
[C]立方体の各面を塗る場合の数の問題(2016年順天堂大/医)
2016順天堂大11Q.gif
[C]一筆書きの数の問題(2008年京大文系)
2008年京大文系5Q.gif

●整数問題
[C]自然数解・整数解の数の問題(2006年東京医科歯科大)
2006TokyoIkashikaQ.gif
[C]不等式を満たす整数の数の問題(新作問題)
SinsakuQ.gif

京極一樹数学塾.gif

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